신목고등학교
2023년 1학년 1학기 기말고사

신목고 1학년 1학기 기말 수학(상)은 어떤 시험인가

신목고등학교는 서울 양천구에 있습니다. 이번 자료에서 확인되는 출제 단원은 직선의방정식, 여러가지부등식, 원의방정식, 평면좌표입니다. 좌표를 이용한 도형의 성질과 부등식의 성립 조건을 다루며, 거리 공식과 이차함수의 해석이 여러 단원에서 반복됩니다.

기본형에서는 두 점을 지나는 직선, 접선의 방정식, 점과 직선 사이의 거리를 정확히 계산해야 합니다. 응용형에서는 같은 공식을 어떤 도형 관계에 적용할지 먼저 판단해야 합니다. 평행한 두 직선 사이의 거리를 정사각형의 변과 연결하거나, 수선의 발이 움직이는 범위를 원으로 해석하는 방식이 대표적입니다.

부등식도 해를 계산하는 단계에 머물지 않습니다. 모든 실수에서의 성립, 정수해의 개수, 근이 특정 위치에 놓이는 조건을 구별해야 합니다. 풀이 전에 조건의 종류를 표시하면 판별식만으로 충분한 문제와 축·함숫값까지 함께 확인해야 하는 문제를 구분하기 쉽습니다.

난이도 분포 — 12번 이후의 조건 결합

쉬움 문항은 1~4번과 6·9·10번입니다. 공식에 직접 대입하는 유형 외에도 완전제곱식으로 항상 성립하는지 판단하거나 좌표를 이용한 증명 과정을 읽는 문항이 포함됩니다. 짧게 풀리는 문제라도 부등호의 등호와 좌표의 부호를 확인하는 습관이 필요합니다.

보통 문항은 5·7·8·11·17·21번입니다. 절댓값의 구간 분류, 근과 계수의 관계를 이용한 무게중심, 접선과 내분점의 결합처럼 개념 사이를 연결합니다. 12~16번이 연속해서 어려움으로 분류되어 있으므로, 이 구간에서 막히면 뒤의 17번과 서술·단답형 21번도 살펴보세요.

어려움은 객관식 후반뿐 아니라 서술·단답형 20·22번에도 있습니다. 이는 자동 분류 기준이며 실제 응시자의 체감 난도와 같다고 단정할 수는 없습니다. 다만 경우 분류의 기준을 잡거나 도형을 다른 형태로 해석하는 데 시간이 걸릴 수 있는 구성입니다.

출제 단원 — 직선과 부등식의 비중

직선의방정식과 여러가지부등식이 공동으로 가장 많습니다. 직선 단원에서는 절편과 거리의 기본 계산이 삼각형의 넓이, 정사각형의 조건, 수선의 발의 자취로 확장됩니다. 부등식에서는 절댓값의 부호 분류와 이차식의 전 구간 성립을 익힌 뒤 정수해 개수와 근의 위치 조건까지 연습해야 합니다.

원의방정식은 접선과 위치 관계 외에도 거리의 범위를 다룹니다. 8번에서 접선의 기울기를 구할 때는 수직인 직선의 가능성을 먼저 살펴야 하고, 16번에서는 거리의 상한과 하한을 얻은 뒤 실제로 그 경계에 도달할 수 있는지 확인해야 합니다.

평면좌표는 거리, 내분점, 무게중심을 중심으로 출제되었습니다. 7번에서는 교점을 직접 구하기보다 좌표의 합을 활용할 수 있고, 14·18번에서는 분점이나 무게중심의 성질을 넓이 관계로 바꾸어야 합니다. 단원 이름별로 공식을 외우는 데서 나아가 같은 거리·넓이 도구를 여러 그림에 적용해 보세요.

문항별 정리

작년 시험과 비교 — 문항 구성은 같고 어려움 분류는 증가

작년과 올해는 모두 수학(상)이며 총 문항 수와 서술·단답형 문항 수가 같습니다. 자동 분류 기준 어려움은 5문항에서 9문항으로 늘고 보통은 11문항에서 6문항으로 줄었습니다. 쉬움도 늘었으므로 모든 구간이 일괄적으로 어려워졌다기보다 기본형과 조건을 결합하는 유형의 간격을 살펴보는 편이 좋습니다.

직선의방정식은 작년 4문항에서 올해 6문항으로 늘었고, 평면좌표는 6문항에서 5문항으로 줄었습니다. 여러가지부등식은 6문항, 원의방정식은 5문항으로 같습니다. 작년 자료의 도형의이동은 올해 단원 분류에 없습니다. 단원별 개수의 변화와 별개로 직선·원·좌표를 연결하는 연습이 필요합니다.

작년 어려움은 14·16·17·19·22번이었고 올해는 12번부터 등장합니다. 올해는 서술·단답형 20번도 어려움으로 분류되어 있습니다. 다음 시험을 준비할 때는 마지막 문항만 따로 푸는 방식보다 객관식 중후반부터 조건 정리와 검산 시간을 확보하는 연습을 하세요.

주의 문항 — 분석상 고난도 문항 3개

이 문항들은 이용자 투표에 따른 순위가 아니라 조건 처리 구조를 바탕으로 고른 분석상 고난도 문항입니다. 공통적으로 처음 주어진 식을 그대로 계산하기보다 해 구간, 근의 위치, 점의 자취로 표현을 바꿉니다. 계산 전에 무엇을 고정하고 무엇을 변화시키는지 적으면 출발점을 찾기 쉽습니다.

시간 배분과 놓치기 쉬운 조건

초반에는 직선과 원의 기본 공식 문항을 정확히 처리하고, 절댓값처럼 경우를 나누는 문항은 구간 경계를 적어 두세요. 12~16번에서 풀이가 길어지면 아직 식을 세우지 못한 문제를 표시하고 다른 문항으로 이동하세요. 서술·단답형이라는 이유로 21번을 무조건 마지막에 남기기보다 절편과 넓이 관계가 보이는지 먼저 확인하는 편이 좋습니다.

정수해 개수를 다루는 15·19번은 해 구간만 얻고 끝내지 마세요. 끝점이 정수인지, 등호가 있는지에 따라 포함되는 정수가 달라집니다. 20번의 서로 다른 근 조건도 등호를 허용하는 조건과 구별해야 합니다. 연습할 때 수직선에 끝점을 표시하고 바로 옆 정수가 포함되는지 확인해 보세요.

도형 검토에서는 그림의 모양을 가정하지 않는 것이 중요합니다. 21번은 절편의 부호에 따라 경우가 나뉘므로 넓이에 절댓값을 적용해야 합니다. 16번은 거리의 경계가 실제로 실현되는 배치인지, 22번은 최대가 되는 점이 허용되는 직선에 대응하는지 살펴보세요. 식의 계산을 반복하기보다 처음의 위치·범위 조건으로 돌아가는 검토가 유용합니다.

다음 시험 대비 학습 순서

1. 직선의 방정식과 거리 공식을 복습하세요. 절편을 구할 때 없애야 할 좌표와 거리 공식의 절댓값을 확인하세요(1·3·4·10번 대비).
2. 원의 접선은 접점이 주어진 경우와 원 밖의 점이 주어진 경우를 나누어 연습하세요. 중심에서 내린 수선과 내분점 관계까지 연결하세요(2·8·17번 대비).
3. 부등식은 절댓값의 구간 분류와 항상 성립하는 조건부터 정리하세요. 판별식의 등호가 어떤 그래프 상태를 뜻하는지 설명해 보세요(5·6·12번 대비).
4. 거리와 넓이를 같은 그림에서 표현해 보세요. 무게중심과 내·외분의 성질을 좌표뿐 아니라 넓이비로도 나타내세요(7·9·11·13·14·18번 대비).
5. 정수해 개수는 수직선의 끝점 조건으로 바꾸고, 근의 위치는 판별식·축·함숫값으로 나누어 검토하세요(15·19·20번 대비).
6. 최대·최소 문제는 상한과 하한을 얻은 뒤 등호가 성립하는 배치를 그려 보세요. 절편의 부호 분류와 수선의 발의 자취도 함께 복습하세요(16·21·22번 대비).