청담고등학교
2022년 1학년 1학기 중간고사

청담고 1학년 1학기 중간 수학(상)은 어떤 시험인가

청담고등학교의 등록 지역은 서울 서초구입니다. 이번 시험에서 확인되는 범위는 다항식, 항등식, 복소수, 이차방정식, 여러가지방정식, 이차함수입니다. 다항식 연산과 공식 변형에서 출발해 함수의 최대·최소와 방정식의 근 조건까지 연결됩니다.

앞부분은 전개, 계수 비교, 켤레복소수를 이용한 계산 등 기본 개념을 적용하는 문항이 중심입니다. 중간부터는 접한다는 조건을 판별식으로 옮기거나 모든 매개변수에서 성립하는 관계를 항등식으로 해석해야 합니다. 공식을 아는 것에 더해 어느 문자에 관한 식으로 정리할지 선택하는 연습이 필요합니다.

후반에는 나눗셈의 정의로 다항식의 형태를 제한하는 문제, 여러 방정식의 근을 함께 다루는 문제, 표의 합 조건을 연립방정식으로 바꾸는 문제가 나타납니다. 서술·단답형도 난도가 일정하지 않으므로 전체를 살펴 접근 가능한 문항을 확보하고, 복잡한 조건에는 별도의 검토 시간을 남기는 운영이 좋습니다.

난이도 분포 — 기본형 확보 뒤 조건 해석에 집중

자동 분류 기준 쉬움 문항은 초반의 1~5번에 이어 9·12·20번에도 있습니다. 완전제곱식, 곱셈 공식, 다항식 연산, 복소수의 분모 실수화처럼 풀이 절차가 비교적 뚜렷합니다. 다만 12번은 근을 직접 구하기보다 근과 계수의 관계로 조건식을 바꾸는 판단이 필요하므로 쉬움 분류를 단순 계산과 동일시해서는 안 됩니다.

보통 문항에서는 개념의 적용 조건이 중요해집니다. 6번은 음수의 제곱근에 관한 부호를, 7번은 나머지의 차수와 나누는 식의 상수배를 구별해야 합니다. 10·13번은 매개변수와 무관하게 성립하는 조건을 읽어야 하며, 18·21번은 앞서 얻은 식을 다음 단계에 정확하게 연결해야 합니다.

어려움은 14·17·19번에 분산되어 있습니다. 각각 차수와 최고차항, 공통근과 중근, 표의 합 관계를 먼저 해석해야 계산을 시작할 수 있습니다. 난이도는 자동 분류 기준이며 실제 응시자의 체감과 같다고 단정할 수는 없습니다. 학습할 때는 계산 실수와 출발 아이디어의 부족을 나누어 복습하세요.

출제 단원 — 다항식과 이차함수가 중심

이차함수는 최대·최소만 준비해서는 충분하지 않습니다. 1·18번의 완전제곱식과 구간 확인 외에도 9·10번에서는 그래프의 만남과 접함을 판별식으로 바꾸고, 13번에서는 공통으로 지나는 점을 찾아 새로운 함수를 구성합니다. 17번은 방정식들의 근 조건을 함께 검토하므로 함수와 방정식을 연결해 공부하세요.

다항식은 연산과 공식 변형에서 나눗셈, 인수분해까지 고르게 나옵니다. 8번은 큰 수를 직접 계산하기보다 대수적인 인수분해로 약수 구조를 드러내는 유형입니다. 20번에서는 인수 조건으로 미정계수를 정한 뒤 조립제법을 이어 가므로, 전개와 인수분해를 서로 검산하는 습관이 도움이 됩니다.

항등식의 14·15·21번은 모두 나눗셈 관계를 식으로 표현하는 능력과 연결됩니다. 여러가지방정식의 11·19번은 대입과 소거를 공유하지만 19번은 표에서 관계식을 추출하는 과정이 추가됩니다. 단원별 공식을 따로 외우기보다 조건을 식으로 바꾸는 공통 절차를 묶어 연습하는 것이 좋습니다.

문항별 정리

주의 문항 — 분석상 고난도 문항 3개

이 문항들은 자동 분류 기준 어려움에 속하며, 조건 처리 구조를 살펴 고른 분석상 고난도 문항입니다. 이용자 투표에 따른 난도 순위를 뜻하지는 않습니다. 공통점은 전개에 앞서 자유롭게 정할 수 없는 요소를 찾는다는 것입니다. 차수, 공통근, 공통 합을 먼저 표시하는 습관을 들이면 무작정 계산하는 시간을 줄일 수 있습니다.

시간 배분과 놓치기 쉬운 조건

초반 기본형은 계산을 길게 늘이지 않고 처리하되 부호를 확인하는 짧은 검산을 남기세요. 14번에서 접근이 막히면 표시한 뒤 다음 문항의 구조를 확인하는 편이 좋습니다. 17번 뒤에도 20번처럼 절차가 분명한 문항이 있으므로, 객관식을 모두 해결한 뒤 서술·단답형을 시작하는 방식에 얽매이지 마세요.

서술·단답형은 첫 관계식을 적는 데 시간을 쓰는 것이 도움이 됩니다. 18번은 무엇에 대한 최댓값인지, 19번은 공통 합을 어떻게 표현할지, 20번은 어떤 인수 조건을 쓸지, 21번은 원래 나눗셈 등식이 무엇인지 먼저 적으세요. 이후 계산을 이어 가면 변수의 역할이나 구하려는 대상을 놓치는 실수를 줄일 수 있습니다.

마지막 점검에서는 같은 계산을 반복하기보다 적용 조건을 확인하세요. 6번은 근호 안의 부호, 7·14·21번은 나머지 차수, 9·10번은 만나지 않음과 접함의 차이가 중요합니다. 17번에서는 공통근을 중복해서 세지 않았는지, 18번에서는 축과 구간 끝점을 모두 확인했는지, 19번에서는 경우 분류를 끝까지 처리했는지 살펴보세요.

다음 시험 대비 학습 순서

1. 다항식의 합과 차, 계수 비교, 곱셈 공식 변형부터 정리하세요. 필요한 합과 곱만 구하는 풀이를 연습하면 불필요한 미지수 계산을 줄일 수 있습니다(2·3·4·8번 대비).
2. 복소수는 분모 실수화와 음수의 제곱근을 나누어 복습하세요. 계산 전에 부호를 판단하고 실수부분과 허수부분을 따로 표시해 보세요(5·6번 대비).
3. 다항식 나눗셈을 등식으로 쓰고 몫과 나머지의 차수를 확인하세요. 인수정리와 조립제법을 연결한 뒤 나머지를 제곱할 때 다시 나누는 유형으로 확장하세요(7·14·15·20·21번 대비).
4. 이차함수의 완전제곱식, 판별식, 항등식 조건을 함께 정리하세요. 매개변수와 무관한 조건과 구간에서의 최대·최소를 구별해 풀이의 첫 줄을 써 보세요(1·9·10·13·18번 대비).
5. 근과 계수의 관계, 허근의 거듭제곱, 공통근과 중근을 복습하세요. 방정식마다 가능한 근을 정리한 뒤 서로 다른 근의 개수를 따로 확인하세요(12·16·17번 대비).
6. 연립방정식은 기본 대입법에서 표의 합 조건을 식으로 옮기는 유형으로 넓히세요. 인수분해로 나뉜 경우마다 해의 쌍을 복원하고 원래 조건에 대조하는 과정을 작성하세요(11·19번 대비).