보성고등학교
2024년 1학년 2학기 기말고사

보성고 1학년 2학기 기말 수학(하)는 어떤 시험인가

보성고등학교는 서울 송파구에 있습니다. 이번 자료에서 확인되는 범위는 함수, 합성함수와역함수, 유리함수, 무리함수, 순열조합입니다. 함수의 기본 대응부터 그래프 해석과 조건을 만족하는 경우 세기까지 연결됩니다.

순열조합은 기호의 의미를 확인하는 문제에서 출발해 책의 배열, 도형의 개수, 색칠, 학생 배치로 확장됩니다. 함수에서는 합성 순서에 따른 대입과 역함숫값을 기본으로 하되, 제한된 정의역과 구간별 그래프를 함께 읽어야 합니다. 같은 단원 안에서도 필요한 접근법이 다양합니다.

자동 분류 기준 쉬움 문항은 초반에 분포하고, 어려움 문항은 후반에 나타납니다. 다만 서술·단답형의 시작인 16~18번은 보통이므로 객관식 후반에 막혔다고 이 구간까지 미루지 않는 편이 좋습니다. 식을 세우는 근거와 후보를 제외하는 이유를 짧게 정리하는 연습이 필요합니다.

난이도 분포 — 기본 확인 뒤 후반의 조건 해석

쉬움 구간에서는 합성 순서, 순열과 조합의 기호, 점근선, 합의 법칙을 정확하게 적용하는지가 중요합니다. 8번은 정의역의 각 원소에서 함숫값이 같다는 조건으로 접근할 수 있습니다. 익숙한 식이라고 모든 실수에서 성립하는 항등식으로 해석하지 않도록 주의하세요.

보통 문항은 구간 선택과 경우 분류를 요구합니다. 2번은 역함숫값 후보가 해당 식의 적용 범위에 속하는지 확인해야 하고, 10~13번은 배열이나 도형 조건을 중복 없이 세어야 합니다. 14번에서는 바깥 함수의 입력 후보를 찾은 뒤 안쪽 함수에서 가능한 입력을 다시 추적합니다.

어려움 문항은 15번과 19~21번에 놓여 있습니다. 좌석 배치의 뼈대를 먼저 정하거나, 도형과 그래프를 연결하거나, 근의 중복을 살펴야 한다는 점이 공통적입니다. 이 난이도는 자동 분류 기준이며 실제 응시자의 체감 난도를 확정하는 자료는 아닙니다.

출제 단원 — 순열조합과 합성함수의 비중

순열조합에서는 공식 선택보다 세는 대상과 제한 조건을 정하는 과정이 중요합니다. 10번은 이웃하는 대상을 묶고 금지된 배열을 제외하며, 11번은 도형을 결정하는 경계선을 선택합니다. 12·13번에서는 조건을 위반하는 경우를 따로 세어 전체에서 제외하는 관점도 익혀야 합니다.

합성함수와역함수는 수식, 유한집합, 그래프, 도형으로 표현 방식이 달라집니다. 1·4번의 기본 합성에서 출발해 2·9번의 대응 조건, 14번의 그래프 역추적, 17번의 반복 합성으로 이어집니다. 식을 전개하는 연습과 입력·출력의 관계를 말로 설명하는 연습을 함께 하세요.

무리함수는 16번에서 정의역과 치역으로 식의 조건을 정한 뒤 20·21번에서 복합적인 판단을 요구합니다. 20번은 구간별 함수와 직선 사이의 정수점을, 21번은 구간별 함수의 근과 평행이동에 따른 중복을 다룹니다. 단원명이 무리함수여도 이차식과 집합의 관점을 함께 사용할 수 있어야 합니다.

문항별 정리

작년 시험과 비교 — 문항 구성은 같고 중심 단원은 변화

작년과 올해는 모두 수학(하)이며 전체 문항 수와 서술·단답형 수가 같습니다. 자동 분류 기준 어려움은 6문항에서 4문항으로 줄었습니다. 작년에는 12·13·17·18·20·21번이 어려움이었고 올해는 15·19·20·21번이므로, 서술·단답형 초반의 부담은 줄고 후반에 주의할 문항이 모였습니다.

작년에는 무리함수와 유리함수가 각각 7문항이었으나 올해는 각각 3문항과 1문항입니다. 순열조합은 6문항에서 8문항으로 늘었고, 올해 합성함수와역함수는 7문항입니다. 작년 요약에는 합성함수와역함수가 별도 단원으로 제시되지 않아 이 단원의 작년 수치를 임의로 덧붙일 수는 없습니다.

다음 시험을 준비할 때는 작년의 유리·무리함수 비중만 따라 학습량을 정하지 마세요. 올해 비중이 큰 순열조합의 조건 분류와 합성함수의 입력 추적을 먼저 익히고, 무리함수에서는 정의역·치역의 기본형을 정수점 및 근의 중복 문제로 확장하는 순서가 좋습니다.

주의 문항 — 분석상 고난도 문항 3개

위 문항은 이용자 투표에 따른 순위가 아니라 조건 처리 구조를 근거로 고른 분석상 고난도 문항입니다. 공통적으로 대상의 구조를 먼저 정한 뒤 계산해야 합니다. 풀이 시작 전에 빈자리 위치, 함수의 구간, 근의 순서를 간단히 표시하면 누락된 조건을 찾기 쉬워집니다.

시간 배분과 놓치기 쉬운 조건

첫 풀이에서는 기본 대입과 정의 확인으로 접근되는 문항을 먼저 처리하세요. 15번의 배치 분류가 길어지면 표시하고 16~18번을 확인하는 방법이 좋습니다. 마지막 객관식인 21번도 자동 분류 기준 어려움이므로, 객관식이라는 이유로 서둘러 끝내기보다 근의 관계를 정리할 여유를 남겨 두세요.

함수 문항의 검토는 입력 범위에서 시작하세요. 2·14번은 계산할 때마다 구간을 다시 확인하고, 7번은 일대일인 것과 치역이 공역 전체를 채우는 것을 함께 살펴야 합니다. 19번에서는 합성의 중간값을 그래프의 높이와 비교해 불가능한 후보를 먼저 제거하면 반복 계산을 줄일 수 있습니다.

경우의 수에서는 무엇을 서로 다른 경우로 세는지 기록하세요. 12번은 선분을 공유하는 인접과 점에서만 만나는 관계를 구별하고, 18번은 사전식 묶음의 시작 위치를 확인해야 합니다. 20번은 경계 제외가 핵심이므로 세로 좌표의 시작과 끝을 적은 뒤 정수 개수를 세어 검산하세요.

다음 시험 대비 학습 순서

1. 합성과 역함수의 입력·출력 흐름을 화살표로 적어 보세요. 기본 대입 뒤 구간별 적용과 유한집합의 대응으로 확장하세요(1·2·4·9번 대비).
2. 정의역·공역·치역을 구별하고 그래프의 끝점과 증가 구간을 확인하세요. 같은 함수와 일대일대응의 조건을 말로 설명하세요(5·7·8·16번 대비).
3. 순열·조합 기호와 합·곱의 법칙을 복습한 뒤 묶음 내부 순서와 외부 순서를 분리하세요. 빈자리가 있는 배열도 구조부터 그려 보세요(3·6·10·15번 대비).
4. 전체에서 제외하는 방법과 직접 세는 방법을 비교하세요. 도형의 경계선 선택, 색칠의 인접 관계, 일직선 위 점의 예외를 구별하세요(11·12·13번 대비).
5. 합성의 중간값을 먼저 찾고 그래프로 입력을 역추적하세요. 반복 합성의 성질과 도형의 거리 변화를 함께 정리하세요(14·17·19번 대비).
6. 사전식 배열은 앞자리별 묶음으로, 정수점은 가로 좌표별 표로 정리하세요. 순위의 경계와 도형의 경계에서 누락이 없는지 확인하세요(18·20번 대비).
7. 구간별 함수의 근을 수직선에 표시하고 이동된 근 집합과 겹쳐 보세요. 근의 존재 조건, 부호, 중복을 순서대로 검사하세요(21번 대비).