잠실고등학교
2024년 1학년 2학기 기말고사

잠실고 1학년 2학기 기말 수학(하)은 어떤 시험인가

잠실고등학교는 서울 송파구에 있습니다. 이번 자료의 출제 단원은 함수, 합성함수와역함수, 유리함수, 무리함수, 순열조합, 집합입니다. 대응 관계를 읽는 기본 개념에서 그래프와 역함수의 연결, 조건이 붙은 배분과 배열까지 다룹니다.

함수 문항은 공식을 대입하는 데서 끝나지 않습니다. 점근선으로 넓이를 표현하거나 역함수의 정의역으로 합성 가능 범위를 제한하고, 그래프의 교점 개수로 조건을 해석해야 합니다. 식을 구한 뒤에도 원래 함수가 정의되는 범위를 확인하는 습관이 필요합니다.

경우의 수 역시 유형 이름만으로 풀이를 정하기 어렵습니다. 이웃하지 않는 배열, 합의 홀짝, 물건 배분, 좌석 조건처럼 분류 기준이 달라집니다. 객관식에서 기본 개념을 정확히 처리하고 서술·단답형에서는 경우를 나눈 근거와 후보를 제외한 이유까지 남기는 연습이 적합합니다.

난이도 분포 — 중간에 등장하는 어려움과 후반의 연속 배치

쉬움은 1·3·4·5번에 배치되어 있습니다. 대응 관계, 합성함수 대입, 약수의 개수, 그래프에서 함숫값 읽기처럼 기본 원리를 확인합니다. 쉬움으로 분류되었더라도 공역과 치역의 구별이나 역함수를 읽는 방향을 놓치면 실수할 수 있습니다.

보통은 2·6·8·10·12·13·14번입니다. 그래프에서 계수의 부호를 판단하거나 조합을 쓰기 전에 홀짝과 서로소 조건을 정리해야 합니다. 7번에서 막혀도 뒤의 8번, 10번, 12~14번을 확인하면 접근 가능한 문항을 이어서 풀 수 있습니다.

15~22번은 모두 어려움으로 분류됩니다. 특히 서술·단답형에서는 점근선의 넓이, 역함수의 범위, 반복 합성, 함수 관계식, 제한된 배열, 실근 개수까지 접근법이 다양합니다. 이 난이도는 자동 분류 기준이며 실제 응시자의 체감 난도를 확정하는 자료는 아닙니다.

출제 단원 — 무리함수와 순열조합의 비중, 유리함수의 조건 결합

무리함수는 2·8·10번의 정의역·치역과 그래프 해석에서 18·22번의 복합 조건으로 이어집니다. 근호가 허용하는 입력과 출력 범위를 먼저 쓰고, 역함수를 만들거나 구간을 붙인 뒤에도 그 범위를 유지해야 합니다. 제곱해서 얻은 후보를 그대로 받아들이지 않는 점검이 중요합니다.

순열조합은 4·6·12·16·21번입니다. 전체에서 이웃하는 경우를 빼는 방법, 홀짝별 조합, 배분 상태별 분류를 구별해야 합니다. 특히 16·21번에서는 조건이 뒤의 선택에 영향을 주므로, 가능한 상태를 먼저 적고 각 상태에서 남은 선택을 세는 연습이 필요합니다.

유리함수의 7·9·11·17번은 모두 자동 분류 기준 어려움입니다. 대칭 중심과 점근선이 역함수·합성함수·도형의 넓이에 연결됩니다. 함수 단원의 19·20번도 각각 반복 구조와 대입 변환을 활용하므로, 그래프 연습과 함께 함수 관계식을 다루는 연습을 병행하세요.

문항별 정리

작년 시험과 비교 — 어려움의 증가와 앞쪽 배치

작년과 올해는 모두 수학(하)입니다. 자동 분류 기준 어려움은 9문항에서 11문항으로 늘었고, 쉬움은 5문항에서 4문항으로 줄었습니다. 서술·단답형 수는 같지만 작년에는 마지막 21번이 보통이었던 반면 올해는 17~22번 전체가 어려움입니다.

작년에는 순열조합이 6문항으로 가장 많았으며 올해는 무리함수와 순열조합이 각각 5문항입니다. 함수는 3문항에서 4문항, 무리함수는 4문항에서 5문항으로 늘었습니다. 유리함수와 합성함수와역함수, 집합의 문항 수는 같아 공통 범위를 두루 준비할 필요가 있습니다.

작년의 어려움은 12~20번에 모였지만 올해는 7·9·11번부터 등장합니다. 따라서 앞에서부터 난도가 계속 높아진다고 가정하기 어렵습니다. 다음 시험을 준비할 때는 기본형을 익힌 뒤 함수의 범위 조건과 경우 분류를 섞어 풀고, 막힌 문항 다음에서 다시 풀이를 시작하는 연습을 하세요.

주의 문항 — 분석상 고난도 문항 3개

이 문항들은 자동 분류 기준 어려움 중 조건 처리 구조를 근거로 고른 분석상 고난도 문항입니다. 이용자 투표로 확인한 난도 순위는 아닙니다. 공통적으로 앞에서 결정한 범위나 경우가 뒤 계산에 영향을 주므로, 각 단계의 허용 조건을 풀이 옆에 남겨 두는 것이 좋습니다.

시간 배분과 놓치기 쉬운 조건

첫 풀이에서는 기본 구조가 보이는 문제를 먼저 처리하세요. 7·9·11번에서 접근이 길어지면 표시하고 보통으로 분류된 뒤 문항을 확인할 수 있습니다. 서술·단답형도 전체를 먼저 훑어 반복 구조가 보이는 19번이나 대입 변환이 떠오르는 20번처럼 자신에게 출발점이 보이는 문항을 찾으세요.

그래프 문제는 계산 전에 점근선, 정의역, 치역을 간단히 기록하세요. 9번에서는 합성 등식이 정의되는 입력을, 15·18번에서는 구간별 치역과 경계 포함을 확인해야 합니다. 11·17번의 넓이는 절댓값 처리가 필요하므로 부호를 임의로 정한 채 진행하지 마세요.

경우의 수는 마지막에 계산식보다 분류의 누락과 중복을 점검하세요. 16번은 수령 제한을 모든 배분 상태에 적용했는지, 21번은 남은 좌석이 실제로 이웃하는지 확인해야 합니다. 19번에서는 순환에 들어가기 전 합성 횟수를 뺐는지, 22번에서는 후보가 해당 조각의 정의 구간에 있는지를 검토하세요.

다음 시험 대비 학습 순서

1. 함수의 정의역·공역·치역과 일대일대응을 복습하세요. 대응표로 중복과 누락을 확인한 뒤 구간별 치역을 맞추는 문제로 확장하세요(1·13·15번 대비).
2. 합성의 순서와 역함수를 읽는 방향을 익히세요. 그래프에서 입력과 출력을 따라간 뒤 반복 합성의 시작점과 순환을 표시하세요(3·5·19번 대비).
3. 유리함수는 점근선과 대칭 중심부터 표시하세요. 역함수의 점근선으로 옮기고 교점과 넓이 조건을 절댓값 식으로 바꾸세요(7·9·11·17번 대비).
4. 무리함수는 근호의 허용 범위와 출력 범위를 먼저 쓰세요. 역함수와 구간별 함수에서도 그 범위를 유지하며 교점 개수까지 연결하세요(2·8·10·18·22번 대비).
5. 경우의 수의 기본 분류를 정리하세요. 약수 개수, 여사건, 홀짝, 배수의 중복 제거를 각각 연습한 뒤 배분과 좌석 제한을 경우표로 나타내세요(4·6·12·14·16·21번 대비).
6. 함수 관계식에서는 입력을 바꾸어 연결되는 식을 찾으세요. 구한 후보와 함숫값이 원래 정의역·구간 조건을 만족하는지 검토하는 과정까지 연습하세요(15·18·20·22번 대비).