양천고등학교
2025년 1학년 2학기 기말고사

양천고 1학년 2학기 기말 공통수학2는 어떤 시험인가

양천고등학교는 서울 양천구에 있습니다. 이번 자료에서 확인되는 범위는 함수, 합성함수와역함수, 유리함수, 무리함수, 명제, 절대부등식입니다. 함수의 기본 대응 관계에서 출발해 그래프를 합성하거나 구간별로 결합하는 문제까지 이어집니다.

초반에는 역함수의 함숫값, 합성 순서, 정의역과 치역, 점근선처럼 개념을 바로 적용합니다. 후반에는 같은 함수 개념을 도형의 넓이, 자연수 조건, 일대일대응, 직선과의 교점 조건으로 바꾸어 읽어야 합니다. 조건을 어떤 표현으로 옮길지 결정하는 능력이 중요합니다.

서술·단답형에는 함수의 범위뿐 아니라 명제의 논리 관계와 절대부등식이 함께 나옵니다. 그래프 문제만 집중해서 준비하면 필요조건과 충분조건의 방향이나 등호 성립 조건을 놓치기 쉽습니다. 함수에서는 구간을, 명제에서는 포함 관계를, 부등식에서는 적용 조건을 먼저 적는 습관을 권합니다.

난이도 분포 — 객관식 후반에 이어지는 그래프 해석

쉬움 문항은 1~7번과 9·19번입니다. 역함수와 합성함수의 기초 계산, 실수 조건, 대우 증명, 제한된 정의역에서의 치역을 확인합니다. 특히 3번은 같은 함숫값의 중복을 제거해야 하고, 19번은 실제 길이가 양수라는 조건을 반영해야 하므로 쉬운 구간에서도 경계를 정확히 써야 합니다.

보통 문항인 8·10·11·12번에서는 명제의 부정, 반복 합성의 규칙, 유리함수의 성질, 무리함수와 직선의 교점으로 개념을 확장합니다. 서술·단답형 20·21·23·24번도 보통으로 분류됩니다. 계산량보다 조건의 방향을 구분하고 근거를 정리하는 데 시간이 들 수 있습니다.

자동 분류 기준 어려움 문항은 13~18번과 22번입니다. 합성 그래프의 구간 분할, 도형에서 함수 만들기, 치역을 연결한 일대일대응, 접선 조건처럼 여러 단계를 연결합니다. 분류는 실제 응시자의 체감 난도를 확정하는 자료가 아니지만, 복합 조건을 다루는 연습의 우선순위를 정하는 데 활용할 수 있습니다.

출제 단원 — 합성함수와 유리함수를 중심으로

합성함수와역함수는 1·2·4번의 기본형에서 13·14·15번의 그래프 해석으로 확장되고, 23번에서는 합성 결과와 역함수의 존재 조건을 판단합니다. 역함수를 매번 식으로 구하기보다 원래 함수의 대응 관계로 되돌리는 방법을 익혀 두면 서로 다른 유형을 같은 원리로 정리할 수 있습니다.

유리함수는 점근선과 대칭성부터 최대·최소, 반복 합성, 직선과의 위치 관계까지 폭넓게 나옵니다. 16번은 좌표로 표현한 도형의 넓이를 부등식에 연결하고, 22번은 제한된 곡선과 직선의 교점을 살핍니다. 무리함수의 12·17·18번도 시작점과 치역의 경계를 추적해야 한다는 점에서 연결됩니다.

명제의 7·8·20·21번은 대우, 양화사의 부정, 반례, 진리집합의 포함 관계를 다룹니다. 함수의 계산과 별개로 논리 방향을 점검하는 시간이 필요합니다. 절대부등식의 24번은 도형의 넓이 관계와 양수인 식의 최솟값을 다루므로 부등식을 적용하기 전 양수 조건부터 확인하세요.

문항별 정리

작년 시험과 비교 — 과목 변화와 공통 단원의 흐름

작년 과목은 수학(하), 올해 과목은 공통수학2로 서로 다릅니다. 따라서 전체 단원의 구성을 같은 범위의 변화로 해석할 수는 없습니다. 총 문항 수와 서술·단답형 구성은 같고, 자동 분류 기준 어려움은 10문항에서 7문항으로 줄었으며 쉬움은 6문항에서 9문항으로 늘었습니다.

겹치는 단원을 보면 합성함수와역함수는 4문항에서 7문항, 유리함수는 4문항에서 6문항으로 늘었습니다. 무리함수는 4문항, 함수는 2문항으로 각각 유지되었습니다. 올해는 합성과 역함수의 그래프 해석, 유리함수의 위치 관계를 우선 연습할 근거가 있지만, 이를 다음 시험의 출제 비중으로 단정할 수는 없습니다.

작년의 어려움 문항은 객관식 12·13·15~18번과 서술·단답형 21~24번이었고, 올해는 객관식 13~18번과 서술·단답형 22번입니다. 올해 서술·단답형의 자동 분류상 부담은 줄었지만 후반 객관식의 연속된 복합 문제는 여전히 대비해야 합니다. 공통 단원의 기본형을 익힌 뒤 구간 분할과 접점 검증을 묶어 연습하세요.

주의 문항 — 분석상 고난도 문항 3개

이 문항들은 풀이 구조를 근거로 고른 분석상 고난도 문항이며 이용자 투표로 확정한 난도 순위가 아닙니다. 공통점은 계산으로 후보를 얻는 과정과 그 후보가 허용되는지 검사하는 과정이 분리된다는 것입니다. 풀이의 마지막에 부호·구간·등호 조건을 다시 대조하세요.

시간 배분과 놓치기 쉬운 조건

첫 풀이에서는 초반 기본형과 접근 가능한 서술·단답형을 먼저 확보하세요. 13~18번은 자동 분류 기준 어려움이 이어지므로 풀이 출발점을 찾지 못한 문항은 표시하고 넘어가는 연습이 필요합니다. 19번의 범위 확인이나 20·21번의 논리 판단까지 후반 객관식 때문에 확인하지 못하는 상황을 줄이세요.

그래프 문제에서는 식을 길게 쓰기 전에 그림에 정의역, 시작점, 구간 경계를 표시하세요. 13·15번은 안쪽 함숫값의 위치를, 17·18번은 각 조각의 치역을 추적해야 합니다. 22번에서는 직선의 고정점을 표시하면 끝점 통과와 접선 조건을 어떤 순서로 확인할지 정하기 쉽습니다.

마지막 검토는 답의 재계산보다 조건 누락에 집중하세요. 12번은 제곱 전의 부호, 18·19번은 끝점의 포함 여부, 20·21번은 논리 방향, 16·24번은 부등식의 등호 조건을 확인하세요. 연습할 때도 식을 세우는 시간과 후보를 검증하는 시간을 구별해 기록하면 취약한 단계를 찾을 수 있습니다.

다음 시험 대비 학습 순서

1. 대응 관계와 정의역·치역부터 복습하세요. 중복된 출력과 열린 끝점을 구별하며 기본 계산을 정확히 마무리하세요(1·2·3·4·19번 대비).
2. 명제는 부정, 대우, 반례를 정리한 뒤 진리집합의 포함 관계로 확장하세요. 양방향을 별도로 판단하는 연습을 하세요(7·8·20·21번 대비).
3. 유리함수의 점근선과 대칭성, 제한된 구간의 최대·최소를 묶어 익히세요. 반복 합성에서는 먼저 짧은 규칙을 찾으세요(6·9·10·11번 대비).
4. 합성 그래프는 안쪽 출력에 따라 구간을 나누는 연습을 하세요. 도형에서 함수를 만들고 역함수 관계를 합성으로 바꾸는 유형까지 연결하세요(13·14·15·23번 대비).
5. 무리함수는 실수 조건에서 시작해 직선과의 교점, 절댓값이 결합된 그래프, 치역의 연결 순서로 확장하세요(5·12·17·18번 대비).
6. 도형의 넓이를 식으로 옮긴 뒤 부등식을 적용하고, 위치 관계에서는 끝점과 접점을 모두 검사하세요. 등호와 구간 검증을 풀이 끝에 적으세요(16·22·24번 대비).