배명고등학교
2024년 1학년 2학기 중간고사

배명고 1학년 2학기 중간 수학(하)는 어떤 시험인가

배명고등학교는 서울 송파구에 있습니다. 이번 자료에서는 집합과 명제, 함수와 합성함수·역함수가 주요 축을 이루며, 직선의 방정식과 부등식, 항등식도 확인됩니다. 단원 이름을 기억하는 데서 그치지 않고 조건을 적절한 수학적 표현으로 옮기는 연습이 필요합니다.

명제 문항은 명제의 뜻과 역, 부정부터 필요조건·충분조건, 귀류법까지 폭이 넓습니다. 집합의 포함 관계를 이용해 참인 명제를 판단하거나, 구간의 포함 관계로 상수의 범위를 제한하는 방식이 반복됩니다. 용어 암기와 실제 구간 해석을 함께 익혀야 합니다.

함수에서는 단순한 함숫값 계산을 넘어 합성 순서, 역함수의 입력과 출력, 일대일대응의 조건을 다룹니다. 기하와 부등식에서도 공식 대입 전에 구조를 파악해야 합니다. 풀이가 짧아 보이는 문항도 조건을 생략하면 잘못된 결론으로 이어질 수 있는 시험입니다.

난이도 분포 — 보통 문항 중심, 조건 해석에서 갈리는 구성

쉬움 문항은 1·2·3·4·6·11·19번입니다. 집합의 기호, 명제의 정의와 역, 항등식의 계수 비교 등 기본 개념을 확인합니다. 19번은 서술·단답형이므로 결과가 자명해 보여도 결론의 부정에서 출발해 모순을 제시하는 형식을 갖추어야 합니다.

보통 문항은 집합 조건의 해석, 그래프에서 합성함숫값 읽기, 모든 실수에 대한 부등식, 구간별 함수의 일대일대응 등으로 이어집니다. 같은 보통 분류라도 필요한 사고 과정은 다릅니다. 자동 분류 기준의 구분이므로 실제 풀이 시간이나 체감 부담이 같다는 뜻으로 받아들이지 마세요.

어려움으로 분류된 13번은 원에 외접하는 사다리꼴의 기하 관계를 부등식과 명제 판단으로 연결합니다. 이 문항에 오래 머물기보다 접근 가능한 문항을 먼저 해결하고 돌아오는 편이 좋습니다. 후반 서술·단답형에도 보통 문항이 이어지므로 앞부분에서 시간을 모두 쓰지 않도록 하세요.

출제 단원 — 명제의 비중과 함수 조건의 연결

명제는 2·4·9·10·11·15·19·20번에 출제되었습니다. 객관식에서는 참거짓과 조건의 방향을 구분하고, 서술·단답형에서는 증명의 구조와 상수 범위를 다룹니다. 특히 10·15·20번을 묶어 조건을 진리집합으로 번역하는 연습을 하면 표현이 달라져도 공통 원리를 찾을 수 있습니다.

집합은 1·5·8번으로 기호 구별에서 차집합과 부분집합 개수의 활용으로 이어집니다. 합성함수와역함수는 12·14·21번이며 그래프 읽기, 유한집합에서의 대응, 식으로 주어진 역함수의 복원처럼 표현이 다양합니다. 각 문항에서 입력이 어디로 이동하는지 화살표로 기록해 보세요.

절대부등식의 13·18번은 산술평균과 기하평균의 관계를 공유하지만, 기하 조건에서 식을 만드는 과정과 주어진 식을 변형하는 과정이 다릅니다. 직선의방정식의 7·17번도 각각 거리의 최대와 순차적인 좌표 계산을 다룹니다. 같은 단원 안에서도 출발점을 비교하며 복습하는 것이 좋습니다.

문항별 정리

작년 시험과 비교 — 집합 중심에서 명제 중심으로

작년과 올해 모두 수학(하)입니다. 자동 분류 기준으로 어려움은 3문항에서 1문항으로 줄고 쉬움은 3문항에서 7문항으로 늘었습니다. 총 문항과 서술·단답형 문항은 늘었으므로, 고난도 문항의 수만으로 시험 운영이 여유로워졌다고 판단하기는 어렵습니다.

작년에는 집합이 6문항으로 가장 많았고 명제는 5문항이었습니다. 올해는 집합이 3문항, 명제가 8문항으로 중심이 바뀌었습니다. 공통 단원인 절대부등식은 두 해 모두 2문항이며 항등식도 각각 1문항입니다. 작년의 최다 단원만 반복하기보다 올해 비중이 큰 논리와 조건 해석을 보강하세요.

작년의 어려움 문항은 12·14·18번으로 객관식과 서술·단답형에 걸쳐 있었지만 올해는 객관식 13번입니다. 다음 시험 대비에서는 명제 기본형을 안정적으로 처리한 뒤 함수의 치역과 역함수, 부등식의 성립 조건을 연결하는 순서가 적절합니다. 분류 변화와 별개로 각 문항의 조건을 직접 읽는 연습은 유지하세요.

주의 문항 — 분석상 고난도 문항 3개

13번은 자동 분류 기준 어려움이며 20·22번은 보통입니다. 여기서는 여러 조건을 연결하는 부담과 놓치기 쉬운 경계를 근거로 분석상 고난도 문항으로 함께 골랐습니다. 공통적으로 계산 결과를 얻은 뒤에도 등호, 끝점, 원래 범위로 돌아가 검토해야 풀이가 완성됩니다.

시간 배분과 놓치기 쉬운 조건

첫 풀이에서는 정의와 기본 계산이 바로 보이는 문항을 먼저 처리하세요. 13번에서 접선 관계가 정리되지 않으면 표시하고 이후 문항으로 넘어가세요. 서술·단답형에도 접근 가능한 문항이 있으므로 객관식을 모두 끝내야만 다음 부분으로 간다는 운영은 피하는 것이 좋습니다.

17번은 앞에서 얻은 좌표와 직선이 다음 계산의 출발점이 됩니다. 단계마다 결과의 기하적 의미를 확인하고 대칭이동 뒤의 부호를 점검하세요. 19번은 귀류법의 가정과 모순을 분명히 적고, 18번은 양수 조건과 등호 성립 가능성을 함께 남기세요. 계산과 근거를 나란히 쓰는 연습이 도움이 됩니다.

마지막 검토에서는 15·20번의 열린 끝점과 닫힌 끝점, 16번의 모든 실수라는 조건, 22번의 정의역 경계를 우선 확인하세요. 합성함수는 적용 순서를, 역함수는 입력과 출력의 교환을 되짚어 보세요. 연습 시에는 조건 해석에 걸린 시간과 계산에 걸린 시간을 구분해 기록하면 보완할 지점이 드러납니다.

다음 시험 대비 학습 순서

1. 집합 기호와 명제의 정의, 역과 부정을 먼저 점검하세요. 원소와 부분집합, 전칭과 존재 표현을 구별하는 짧은 문제를 풀어 보세요(1·2·4·11번 대비).
2. 차집합과 부분집합 개수 조건을 원소의 포함·제외로 번역하세요. 반드시 들어가는 원소와 선택할 수 있는 원소를 나누어 표시하세요(5·8번 대비).
3. 필요조건·충분조건을 진리집합의 포함 관계로 바꾸고 수직선에 그리세요. 끝점의 포함 여부와 정수 조건을 따로 검사하세요(10·15·20번 대비).
4. 산술평균과 기하평균의 관계는 양수 조건, 식의 변형, 등호 조건을 한 묶음으로 연습하세요. 기하에서 길이 관계를 만드는 유형으로 확장하세요(13·18번 대비).
5. 함수의 입력과 출력을 대응표로 정리한 뒤 그래프와 합성 순서, 역함수의 치환을 연습하세요. 구간별 치역과 일대일성까지 확인하세요(3·12·14·21·22번 대비).
6. 좌표 계산과 증명은 출발 조건부터 결론까지 연결해 쓰세요. 직선의 거리와 항등식의 계수 비교, 항상 성립하는 부등식도 복습하세요(6·7·16·17·19번 대비).