문정고등학교
2024년 1학년 2학기 기말고사

문정고 1학년 2학기 기말 수학(하)는 어떤 시험인가

문정고등학교는 서울 송파구에 있습니다. 이번 자료의 출제 범위는 유리함수, 무리함수, 합성함수와역함수, 순열조합, 명제, 절대부등식입니다. 그래프의 성질을 읽는 문제와 조건에 맞는 배치·선택을 세는 문제가 함께 출제되었습니다.

함수에서는 식을 변형하는 능력만큼 정의역과 치역을 정확히 해석하는 능력이 중요합니다. 점근선과 평행이동을 확인하는 기본형을 바탕으로, 조각별 함수의 일대일성이나 역함수와의 교점 조건까지 연결합니다. 그래프의 끝점이 포함되는지를 구별하는 습관이 필요합니다.

경우의 수에서는 순열과 조합을 구분하는 기본형에서 지불 방법, 배열, 색칠, 격자 배치로 확장됩니다. 명제 문항은 귀류법과 대우를 다루므로 계산만 연습해서는 범위 전체를 준비하기 어렵습니다. 유형별 풀이를 외우기보다 어떤 조건 때문에 분류가 필요한지 설명하며 공부하세요.

난이도 분포 — 함수와 경우의 수에서 나뉘는 어려움 구간

초반 1~4번은 쉬움으로 분류되어 있습니다. 유리함수의 사분면과 성질, 역함수의 함숫값, 평행이동에서 보존되는 성질을 정확히 확인하는 구간입니다. 5~8번에서는 합성 순서, 역함수의 존재 조건, 제한된 구간의 교점 조건을 해석해야 하므로 서둘러 계산하기보다 적용할 조건을 먼저 적으세요.

9·10번을 지나면 11·12번에서 다시 기본 순열·조합 문항을 만납니다. 어려운 함수 문제에 머무르다가 뒤의 접근 가능한 문항을 놓치지 않아야 합니다. 19·20번은 색칠과 격자 조건을 나누어 세는 문제로, 계산량보다 경우를 구분하는 기준을 세우는 데 부담이 있습니다.

21~23번은 모두 자동 분류 기준 보통입니다. 그래프에서 부호를 읽어 다른 함수로 옮기기, 교점이 없다는 조건의 식 변환, 대우를 이용한 증명을 다룹니다. 난이도 분류는 실제 응시자의 체감과 같다고 단정할 수 없으며, 서술형에서는 풀이의 연결을 빠뜨리지 않는 연습이 별도로 필요합니다.

출제 단원 — 순열조합의 비중과 함수 조건의 연결

순열조합은 11~15번과 18~20번에 걸쳐 출제되었습니다. 직책이나 방처럼 대상을 구별하는지부터 확인하고, 이웃하지 않는 배열이나 간격 조건에서는 자리를 먼저 정해야 합니다. 같은 단원 안에서도 곱의 법칙으로 바로 세는 유형과 경우를 나누어 더하는 유형을 구분해 연습하세요.

유리함수와 무리함수는 단원별 표 이상의 연결성이 있습니다. 8·9번은 서로 다른 종류의 함수를 함께 다루고, 21번도 유리함수 그래프에서 읽은 정보를 무리함수로 옮깁니다. 점근선, 시작점, 증가·감소, 치역의 경계를 같은 좌표평면에 정리하는 연습이 유용합니다.

합성함수와역함수에서는 함숫값 계산뿐 아니라 역함수가 존재할 조건을 묻습니다. 명제는 가정과 결론의 관계를 분명히 해야 하며, 절대부등식은 부등식 적용 조건과 등호 성립을 함께 점검해야 합니다. 문항 수가 적은 단원도 핵심 원리를 짧게 설명할 수 있도록 준비하세요.

문항별 정리

작년 시험과 비교 — 문항 구성과 어려움의 위치 변화

작년과 올해는 모두 수학(하)이지만 자료에 나타난 단원 구성이 다릅니다. 작년은 도형의이동과 직선의방정식이 각각 5문항으로 가장 많았고, 올해는 순열조합이 8문항으로 중심을 이룹니다. 공통으로 확인되는 유리함수는 2문항에서 5문항으로 늘었고, 무리함수는 4문항으로 같습니다.

자동 분류 기준 어려움은 작년 2문항에서 올해 4문항으로 늘었습니다. 작년의 어려움은 무리함수 14·15번에 있었지만 올해는 무리함수 9·10번과 순열조합 19·20번으로 나뉩니다. 한편 서술·단답형은 5문항에서 3문항으로 줄어, 형식의 변화와 어려움 문항 수의 변화를 따로 살펴야 합니다.

이 비교만으로 다음 시험의 범위를 예측할 수는 없습니다. 실제 시험 범위를 먼저 확인한 뒤 공통 단원인 함수의 그래프 해석을 다지고, 올해의 순열조합에서는 조건을 분리해 세는 연습을 보완하세요. 작년의 번호 순서나 문항 형식을 그대로 기대하기보다 단원별 핵심 조건을 복습하는 것이 좋습니다.

주의 문항 — 분석상 고난도 문항 3개

이 문항들은 이용자 투표로 확인된 난도 순위가 아니라 조건 처리 구조를 근거로 고른 분석상 고난도 문항입니다. 공통점은 부분별로 얻은 결과를 전체 조건에 다시 대조해야 한다는 점입니다. 계산을 시작하기 전에 각 구간의 치역이나 배치 표를 적어 두면 누락과 중복을 확인하기 쉽습니다.

시간 배분과 놓치기 쉬운 조건

첫 풀이에서는 1~4번과 11·12번처럼 개념과 계산의 출발점이 분명한 문항을 먼저 확보하세요. 9·10번에서 치역이나 근 조건 정리가 길어지면 표시해 두고 다음 구간으로 이동하는 운영을 연습하세요. 번호가 뒤로 갈수록 계속 어려워지는 구성이 아니므로 전체 문항을 확인하는 것이 중요합니다.

서술·단답형을 위해 별도의 시간을 남기세요. 21번은 그래프에서 부호를 판단한 근거와 무리함수의 시작점을 연결하고, 22번은 교점 부재를 방정식의 실근 조건으로 옮기는 과정을 보여 주어야 합니다. 23번은 대우를 정확히 적은 뒤 가능한 나머지의 경우를 빠짐없이 다뤘는지 확인하세요.

마지막 검토에서는 계산을 모두 반복하기보다 조건 누락을 찾으세요. 함수에서는 분모가 사라지는 입력, 근호의 정의 조건, 끝점 포함 여부를 확인합니다. 경우의 수에서는 지불 방법과 금액의 구별, 인접 영역의 관계, 가로·세로 조건의 동시 충족을 점검하고, 최댓값·최솟값에서는 등호가 실제로 성립하는지 살펴보세요.

다음 시험 대비 학습 순서

1. 유리함수를 기본형으로 정리하고 점근선과 사분면을 함께 스케치하세요. 평행이동에서 바뀌는 정보와 보존되는 정보를 구분해 설명하세요(1·2·4번 대비).
2. 역함수 조건을 원래 함수의 입출력 관계로 바꾸세요. 조각별 함수에서는 각 부분의 범위와 전체의 일대일성을 함께 확인하세요(3·5·6·7번 대비).
3. 제한된 정의역에서 그래프의 끝점과 치역을 구하세요. 두 함수의 교점과 역함수 문제로 확장할 때도 경계 포함 여부를 유지하세요(8·9·10·21·22번 대비).
4. 순열과 조합을 선택하는 이유를 말로 적으세요. 지불 방법과 금액, 비인접 배열과 교대 배열처럼 비슷해 보이는 조건을 구별하세요(11·12·13·14·15번 대비).
5. 경우의 수는 분류 기준을 먼저 적고 표로 정리하세요. 걸음의 종류별 횟수, 인접 영역의 색 관계, 격자의 줄별 조건을 누락 없이 연결하세요(18·19·20번 대비).
6. 부등식의 적용 조건과 등호 성립, 귀류법의 모순 지점과 대우의 논리 순서를 짧은 문장으로 완성하세요. 계산 뒤 근거까지 쓰는 연습을 하세요(16·17·23번 대비).