배명고등학교
2023년 1학년 1학기 기말고사

배명고 1학년 1학기 기말 수학(상)은 어떤 시험인가

배명고등학교는 서울 송파구에 있습니다. 이 자료에서 확인되는 출제 단원은 항등식, 이차함수, 여러가지방정식, 여러가지부등식, 평면좌표, 직선의방정식, 원의방정식입니다. 대수의 기본 계산과 좌표도형의 위치 관계를 함께 점검하는 범위입니다.

좌표도형 문제에서는 공식 선택에 앞서 그림의 의미를 읽어야 합니다. 원과 직선이 만나는 조건은 중심과 직선 사이의 거리로 바뀌고, 축에 평행한 선분의 비는 기울기로 해석됩니다. 계산을 시작하기 전에 무엇이 고정되고 무엇이 움직이는지 표시하면 식을 간결하게 세울 수 있습니다.

대수 문제도 전개량만으로 난도가 정해지지 않습니다. 복이차방정식의 대칭성, 실수 계수 방정식의 켤레근, 사차식 속 공통부분을 알아보는 것이 출발점입니다. 자동 분류 기준 보통 문항에서도 조건을 적용한 뒤 허용되는 경우를 다시 확인하는 연습이 필요합니다.

난이도 분포 — 보통 문항 중심, 객관식 중후반의 고비

초반에는 나머지정리, 거리, 평행, 이차함수의 최대·최소와 같은 기본형이 놓여 있습니다. 다만 5번은 연립방정식을 원과 직선의 교점으로 바꾸어야 하므로, 앞부분을 모두 단순 계산 구간으로 생각하지 않는 편이 좋습니다. 기본형에서 확보한 시간을 조건 해석에 활용하세요.

자동 분류 기준 어려움인 12번은 근의 대칭성과 서로 다름을 함께 다루고, 14번은 도형 속 평행사변형과 중점 관계를 찾아야 합니다. 그 사이의 13번과 이후 15·16번은 보통입니다. 막힌 문항 뒤에도 접근 가능한 문제가 있으므로 번호 순서에만 매이지 마세요.

서술·단답형은 내분·외분의 기본 계산에서 켤레근, 사분면 조건, 원과 직선의 만남, 사차방정식의 치환으로 이어집니다. 이 난이도 분포는 자동 분류 기준이며 실제 응시자의 체감과 같다고 단정할 수 없습니다. 특히 보통 문항을 빠짐없이 완성하는 정확도가 중요한 구성입니다.

출제 단원 — 직선의방정식과 좌표도형의 연결

직선의방정식은 평행과 일치의 구별에서 시작해 선분의 비, 절댓값 그래프와의 위치 관계, 삼각형이 생기지 않는 조건, 수직선과 넓이로 확장됩니다. 기울기 공식을 암기하는 것에 그치지 말고 평행·수직·한 점에서 만남을 그림과 식으로 각각 설명해 보세요.

원의방정식에서는 중심과 반지름을 정하는 기본형을 바탕으로 접선과 만남의 조건을 반복해서 활용합니다. 여러가지방정식으로 분류된 5번도 원과 직선의 접촉으로 해석할 수 있습니다. 단원별 표는 대표 분류이므로 실제 학습에서는 서로 연결되는 개념을 묶어 복습하는 것이 효율적입니다.

평면좌표는 거리와 내분·외분뿐 아니라 14번의 도형 성질까지 포함합니다. 부등식에서는 해집합의 교집합과 입력식의 변환을 정확하게 다루어야 합니다. 대수와 도형 모두에서 경계가 포함되는지, 좌표의 부호가 조건에 맞는지 끝까지 확인하는 습관이 필요합니다.

문항별 정리

작년 시험과 비교 — 어려움은 줄고 보통 문항은 증가

작년과 올해 모두 수학(상)입니다. 자동 분류 기준 어려움은 3문항에서 2문항으로 줄었지만 쉬움도 8문항에서 6문항으로 줄고 보통은 9문항에서 13문항으로 늘었습니다. 어려움 문항의 감소만으로 시험 전체가 쉬워졌다고 판단하기보다, 중간 단계 문제를 안정적으로 처리해야 하는 구성으로 읽는 것이 적절합니다.

작년에는 원의방정식이 6문항으로 가장 많았고 올해는 직선의방정식이 5문항으로 가장 많습니다. 직선의방정식은 2문항에서 5문항으로 늘고 원의방정식은 6문항에서 4문항으로 줄었습니다. 평면좌표와 여러가지방정식도 각각 3문항에서 4문항으로 늘어, 직선과 좌표 해석 및 방정식의 구조를 함께 준비할 필요가 있습니다.

작년 어려움은 13·14·20번으로 서술·단답형에도 있었지만, 올해 어려움은 객관식 12·14번입니다. 다음 시험을 준비할 때는 서술·단답형이라는 이유로 뒤로 미루지 말고 기본 개념을 적용할 수 있는 문항부터 찾는 연습을 하세요. 동시에 보통 문항의 끝점과 예외를 점검하는 훈련을 충분히 해 두는 것이 좋습니다.

주의 문항 — 분석상 고난도 문항 3개

여기서 고른 분석상 고난도 문항은 이용자 투표로 확인된 순위가 아니라 풀이 구조를 살펴 선정한 것입니다. 공통적으로 여러 대상을 하나의 관계로 묶는 단계가 중요합니다. 근의 쌍, 공통 중점, 구간의 끝점처럼 계산의 기준이 될 대상을 먼저 적고 풀이를 시작하세요.

시간 배분과 놓치기 쉬운 조건

첫 풀이에서는 기본형을 빠르게 확인하고 조건 해석에 시간이 드는 문항을 표시하세요. 12·14번에서 진전이 없으면 뒤의 직선 문제와 서술·단답형까지 살펴보는 편이 좋습니다. 특히 17번은 자동 분류 기준 쉬움이므로 객관식의 막힌 문제 때문에 확인할 기회를 놓치지 마세요.

서술·단답형은 계산에 앞서 적용할 원칙을 짧게 적으세요. 18번은 실수 계수와 켤레근, 19번은 좌표의 부호, 20번은 중심과 직선 사이의 거리, 21번은 치환과 실근 판별이 출발점입니다. 연습할 때는 이 첫 관계식을 정하는 데 걸리는 시간을 따로 살펴보면 보완할 개념이 드러납니다.

마지막 검토에서는 경계와 제외 조건을 우선 확인하세요. 9번은 교집합의 끝점, 10번은 꺾이는 점과 평행한 경우, 13번은 절댓값에서 나온 경우가 중요합니다. 15번의 서로 다른 직선 조건, 19번의 축 위 점 제외, 21번의 실근만 포함했는지도 검토하세요.

다음 시험 대비 학습 순서

1. 나머지정리, 거리, 이차함수의 꼭짓점 등 기본 계산을 먼저 정리하세요. 계산 후 부호와 값의 존재 여부까지 확인하는 습관을 들이세요(1·2·4·6번 대비).
2. 내분·외분 공식을 그림의 위치와 연결하세요. 내분점의 이동을 좌표의 부호 조건으로 옮기는 문제까지 이어서 풀어 보세요(17·19번 대비).
3. 직선의 평행·일치·수직 관계를 구분하고 기울기를 선분의 비로 해석하세요. 닮음비와 넓이비를 연결하는 연습도 하세요(3·8·15·16번 대비).
4. 원과 직선의 만남 및 접촉을 거리 조건으로 통일해 정리하세요. 원 위 일차식의 극값과 여러 구간의 끝점을 비교하는 유형으로 확장하세요(5·7·13·20번 대비).
5. 수직선의 교집합과 그래프의 구간 분할을 연습하세요. 끝점이 포함되는 이유를 말로 설명하고 입력이 변환된 부등식에도 적용하세요(9·10·11번 대비).
6. 고차방정식은 전개하기 전에 대칭성·켤레근·공통부분을 찾으세요. 도형에서는 공통 중점과 중선정리로 길이의 제곱 관계를 묶는 연습을 하세요(12·14·18·21번 대비).