불곡고등학교
2024년 1학년 2학기 기말고사

불곡고 1학년 2학기 기말 수학(하)는 어떤 시험인가

불곡고등학교는 경기 성남시에 있습니다. 출제 단원은 함수, 합성함수와역함수, 유리함수, 무리함수, 순열조합입니다.

함수에서는 주어진 식에 값을 대입하는 단계에서 나아가 일대일대응, 치역, 반복 합성 조건으로 가능한 대응을 좁혀 갑니다. 그래프 문항도 점근선이나 시작점을 읽는 기본형에서 절댓값과 역함수가 결합된 교점 해석으로 확장됩니다. 식을 길게 전개하기 전에 어떤 구간과 대응이 가능한지 확인하는 습관이 필요합니다.

순열조합은 전개식의 항 세기부터 직선의 중복, 주사위의 배수 조건, 좌석 배치, 숫자 배열, 물건 분배까지 상황이 다양합니다. 같은 단원이라는 이유로 공식을 먼저 고르면 구별해야 할 대상이나 제외할 경우를 놓치기 쉽습니다. 무엇을 먼저 정하고 무엇을 나중에 배치하는지 설명할 수 있어야 합니다.

난이도 분포 — 후반에 이어지는 조건 해석

쉬움으로 분류된 1~4번은 곱의 법칙, 합성함수의 함숫값, 순열과 조합의 관계, 무리함수의 최대·최소를 확인합니다. 항의 중복이나 합성 순서, 그래프의 증가·감소를 확인한 뒤 계산해야 합니다.

보통 문항인 5~8번과 10·11번도 단순 대입만으로 해결되지는 않습니다. 점근선과 사분면, 역함수의 정의, 같은 직선의 중복, 여사건을 이용하는 판단이 필요합니다. 특히 9번에서 막혀도 다음의 10·11번은 보통으로 분류되어 있으므로 번호 순서에만 매이지 마세요.

12~22번은 자동 분류 기준 모두 어려움입니다. 대응 조건을 추론하는 문항과 그래프·배치 조건을 나누는 문항이 이어집니다. 실제 체감 난도와 같다고 단정할 수는 없으며 학습 우선순위를 정할 때 참고하세요.

출제 단원 — 순열조합과 함수의 조건 처리

가장 많은 순열조합은 기본 공식의 적용과 조건에 맞춘 분류가 함께 출제되었습니다. 7번은 점의 쌍과 서로 다른 직선을 구별하고, 11번은 배수 조건을 만족하지 않는 경우를 먼저 셉니다. 후반의 18·20·21번에서는 선택 단계마다 남는 대상이 달라지므로 앞 단계의 결정이 다음 단계에 미치는 영향을 기록해야 합니다.

함수는 12·13·15·16번이 어려움으로 분류되어 있습니다. 일대일대응에서 남는 원소를 배정하거나, 공역 안에 치역이 포함되는 조건을 부등식으로 옮기거나, 반복 합성으로 대응을 제한하는 유형입니다. 함수 단원을 식의 계산만으로 복습하면 이러한 논리 문제에 대응하기 어렵습니다.

무리함수의 14번은 좌표와 길이를 연결하고 19·22번은 그래프와 직선의 만남을 해석합니다. 유리함수의 8번에도 무리함수 그래프에서 얻은 부호 정보가 쓰이며, 17번은 역함수와 그래프 비교를 함께 다룹니다.

문항별 정리

작년 시험과 비교 — 같은 문항 수에서 달라진 후반 부담

작년과 올해 모두 수학(하)이며 총 문항 수는 같습니다. 서술·단답형은 줄었지만 자동 분류 기준 어려움은 늘고 쉬움은 줄었습니다. 작년의 어려움은 15~20번에 있었으나 올해는 9번에서 등장한 뒤 12번부터 끝까지 이어집니다. 서술·단답형의 수만 보고 시험 부담이 줄었다고 판단하기 어렵습니다.

순열조합은 작년과 올해 모두 7문항으로 가장 많습니다. 함수는 3문항에서 5문항, 무리함수는 3문항에서 4문항으로 늘었고, 유리함수는 5문항에서 3문항, 합성함수와역함수는 4문항에서 3문항으로 줄었습니다. 같은 과목 안에서도 함수의 정의와 대응 조건을 다루는 영역을 충분히 연습할 필요가 있습니다.

다음 시험을 준비할 때는 작년의 후반 배치만 기준으로 어려운 문제의 위치를 예상하지 마세요. 앞부분에서 기본형을 정확히 처리하고, 중간부터 등장하는 조건 해석형에 대응할 수 있도록 섞어서 풀어 보세요. 순열조합의 학습량을 유지하면서 함수의 대응 추론과 무리함수의 교점 검토를 보강하는 순서가 적절합니다.

주의 문항 — 분석상 고난도 문항 3개

이 문항들은 이용자 투표로 확정한 순위가 아니라 해설의 조건 처리 과정을 근거로 고른 분석상 고난도 문항입니다. 공통적으로 방정식의 근과 실제 그래프의 교점을 구별해야 합니다. 계산 전에 구간과 경계를 표시하고 계산 후 후보를 원래 조건으로 돌려 확인하는 과정을 연습하세요.

시간 배분과 놓치기 쉬운 조건

첫 풀이에서는 1~8번의 기본 구조를 확인하고, 9번에서 풀이가 길어지면 표시한 뒤 10·11번으로 이동하세요. 후반에서는 대응표가 바로 보이는 문제와 그래프를 여러 번 나누어야 하는 문제를 구별해 접근 순서를 정하세요. 시험 시간이 자료에 제시되어 있지 않으므로 임의의 분 단위 목표보다 자신의 모의 풀이 기록을 기준으로 시간을 배분하는 편이 좋습니다.

21번은 서술·단답형이므로 끝까지 미뤄 두지 말고 분배 구조를 먼저 읽어 두세요. 모두가 받는다는 조건으로 가능한 형태를 정하고, 경우를 나누는 기준을 짧게 적으면 계산의 근거를 유지하기 쉽습니다. 18·20번도 선택 수를 곱하기 전에 각 단계가 앞 단계의 선택과 어떤 관계인지 확인해야 누락과 중복을 줄일 수 있습니다.

마지막 점검은 조건별로 하세요. 13번은 공역 안에 치역이 포함되는지와 계수의 범위를, 15·16번은 모든 원소에서 반복 합성 조건이 성립하는지를 확인하세요. 17·19·22번은 구간의 경계와 끝점의 포함 여부, 제곱 전의 부호를 검토하고, 경우의 수에서는 같은 물건과 서로 다른 대상을 구별했는지 되짚어 보세요.

다음 시험 대비 학습 순서

1. 곱의 법칙과 순열·조합의 관계를 복습하고, 선택 방법과 실제 결과가 중복되는지 설명해 보세요. 직선 세기와 여사건까지 연결하세요(1·3·7·11번 대비).
2. 합성함수는 대응 화살표로, 역함수는 입력과 출력의 교환으로 정리하세요. 유한한 정의역에서 항등함수가 되는 조건도 원소별로 써 보세요(2·6·10번 대비).
3. 함수의 정의역·공역·치역을 구별하고 일대일대응과 반복 합성 조건을 대응표로 옮기세요. 상수함수와 계수의 허용 범위를 빠뜨리지 마세요(12·13·15·16번 대비).
4. 유리함수의 점근선과 대칭 중심, 무리함수의 시작점과 증가·감소를 묶어 복습하세요. 그래프에서 계수의 부호를 읽고 역함수와 평행이동으로 확장하세요(4·5·8·9번 대비).
5. 그래프의 좌표와 길이, 구간별 교점을 연결하세요. 절댓값 변환과 역함수를 결합한 뒤 끝점과 무연근을 따로 검사하는 연습을 하세요(14·17·19·22번 대비).
6. 좌석·숫자·물건 분배는 제한이 강한 대상부터 정하는 분류표를 만드세요. 경우별 선택 수가 달라지는 이유와 같은 물건의 처리 근거를 문장으로 설명하세요(18·20·21번 대비).