잠일고등학교
2023년 1학년 2학기 중간고사

잠일고 1학년 2학기 중간 수학(하)는 어떤 시험인가

잠일고등학교는 서울 송파구에 있습니다. 이번 자료의 출제 범위는 원의방정식, 도형의이동, 집합, 명제, 절대부등식입니다. 좌표를 이용한 도형 해석과 집합·명제의 논리적 판단을 함께 다루므로 계산 연습과 개념 구분을 균형 있게 준비해야 합니다.

초반에는 원소와 부분집합의 구별, 합집합의 여집합, 점과 원의 이동처럼 기본 원리를 확인합니다. 중반으로 가면 충분조건을 진리집합의 포함 관계로 바꾸거나, 도형의 넓이와 둘레를 거리 문제로 바꾸는 과정이 중요해집니다. 공식을 떠올리는 것에 더해 어떤 관계를 먼저 세울지 판단해야 합니다.

서술·단답형에는 집합의 원소 결정, 대우를 이용한 증명, 접선의 길이, 거리 조건을 만족하는 점의 개수가 포함됩니다. 자동 분류 기준 보통인 문항도 근거를 문장과 식으로 남기는 연습이 필요합니다. 마지막 문항만 어렵다고 보고 앞부분의 서술 준비를 생략하지 마세요.

난이도 분포 — 기본형을 확보한 뒤 후반 조건 해석

쉬움 문항은 1·2·3·4·6·9번에 분포합니다. 집합의 기호와 명제의 참거짓, 이동 후 좌표를 정확히 처리하는 구간입니다. 반례를 찾는 문제에서는 복잡한 값을 시도하기보다 부호와 영이 포함된 경우를 먼저 살펴보면 불필요한 계산을 줄일 수 있습니다.

보통 문항은 접선, 집합 연산, 조건의 부정, 산술평균과 기하평균 등으로 넓게 분포합니다. 객관식 5번부터 개념을 연결하는 풀이가 필요하며, 서술·단답형 18~21번도 이 구간에 속합니다. 특히 증명 문항은 계산 결과만 적어서는 논리의 연결이 드러나지 않습니다.

어려움은 16·17·22·23번에 모여 있습니다. 객관식의 원 관련 조건 해석과 서술·단답형의 치환·접선 조건을 따로 연습하는 편이 좋습니다. 이 분포는 자동 분류 기준이므로 응시자의 실제 체감 난도를 확정하는 자료로 해석하지는 마세요.

출제 단원 — 원의방정식과 거리 해석의 비중

원의방정식은 기울기가 주어진 접선과 접점에서의 접선, 접점 사이의 현, 삼각형 넓이의 최대, 원의 자취까지 다룹니다. 중심과 반지름을 먼저 정리한 뒤 접선이면 수직 관계, 위치 조건이면 중심 사이의 거리나 중심과 직선 사이의 거리를 선택하세요.

집합과 명제는 기호의 의미를 해석하는 힘이 공통으로 필요합니다. 집합의 연산 조건은 포함 관계나 벤다이어그램으로, 충분조건은 진리집합의 포함 방향으로 바꾸어 보세요. 12번처럼 방정식의 해로 정의된 집합은 중근을 원소로 중복해 세지 않는 점도 중요합니다.

도형의이동은 단순한 좌표 이동에서 거리 최소와 대칭인 접선으로 확장됩니다. 절대부등식은 출제 문항 수만 보면 적지만 22번이 자동 분류 기준 어려움에 해당합니다. 치환 후 변수 범위와 등호 성립 조건을 확인하는 학습을 별도로 확보하세요.

문항별 정리

작년 시험과 비교 — 서술·단답형과 후반 고난도 구성의 변화

작년과 올해는 모두 수학(하)이며 총 문항 수는 같습니다. 서술·단답형은 4문항에서 6문항으로 늘었습니다. 자동 분류 기준 보통은 13문항으로 같지만 쉬움은 8문항에서 6문항으로 줄고 어려움은 2문항에서 4문항으로 늘어, 기본형 이후의 조건 처리와 서술 준비를 더 충실히 할 필요가 있습니다.

작년에는 집합이 8문항으로 가장 많았고 원의방정식은 5문항이었습니다. 올해는 집합이 5문항, 원의방정식이 7문항으로 중심이 바뀌었습니다. 집합의 기호 해석을 유지하면서 접선과 중심 거리, 자취 등 원의 조건을 다양한 방식으로 바꾸는 연습을 보강하세요.

작년의 어려움 문항은 객관식 18·19번이었으나 올해는 객관식 16·17번과 서술·단답형 22·23번에 배치됩니다. 서술·단답형의 시작도 20번에서 18번으로 앞당겨졌습니다. 다음 시험을 준비할 때는 객관식 후반만 반복하기보다 기본 서술과 여러 조건이 결합된 서술을 함께 연습하세요.

주의 문항 — 분석상 고난도 문항 3개

이 문항들은 조건을 다른 표현으로 바꾸는 단계가 이어진다는 점에서 고른 분석상 고난도 문항입니다. 이용자 투표에 따른 난도 순위는 아닙니다. 자취에서 중심 영역으로, 원래 변수에서 치환 변수로, 한 접선에서 대칭인 접선으로 넘어갈 때 보존할 조건을 먼저 적어 보세요.

시간 배분과 놓치기 쉬운 조건

첫 풀이에서는 기본 개념이 바로 보이는 문항을 확보하고, 객관식 마지막에서 풀이가 길어지면 서술·단답형도 확인하세요. 18~21번은 자동 분류 기준 보통에 해당하므로 16·17번을 해결해야만 시작할 수 있는 구간이 아닙니다. 제한 시간을 두고 연습할 때에는 계산을 시작하지 못한 문제와 계산 검토만 남은 문제를 구분해 표시하세요.

서술에서는 계산식 앞에 사용한 조건을 짧게 남겨 두세요. 19번은 대우의 가정과 나머지에 따른 경우를, 20번은 반지름과 접선의 수직 관계를 적으면 풀이의 연결이 분명해집니다. 21번은 거리 범위와 경계에서의 교점 개수를 나누어 쓰면 단순히 정수의 개수만 세는 실수를 줄일 수 있습니다.

검토할 때는 5번의 절편 부호, 8번의 명제 부정과 부등호 경계, 12·18번의 원소 중복을 먼저 확인하세요. 이어서 16번의 이동량 양수 조건, 22번의 등호 성립 가능성, 23번의 서로 다른 직선 조건을 점검하세요. 모든 계산을 다시 하기보다 후보를 원래 조건에 대조하는 검토가 필요합니다.

다음 시험 대비 학습 순서

1. 원소와 부분집합, 여집합과 차집합의 기호를 구별하세요. 벤다이어그램과 원소 나열을 오가며 중복 원소 처리까지 연습하세요(1·3·7·12·18번 대비).
2. 명제의 부정과 충분조건을 문장·진리집합으로 바꾸세요. 반례 확인에서 시작해 대우 증명을 직접 작성하는 순서로 확장하세요(4·8·9·11·19번 대비).
3. 점과 원의 이동을 중심 좌표로 정리하고, 대칭으로 꺾인 경로를 펼치는 연습을 하세요. 이동 순서와 등호가 가능한 위치를 확인하세요(2·6·15번 대비).
4. 접선의 수직 관계와 점과 직선 사이의 거리를 복습하세요. 기울기 조건, 현의 길이, 접선 길이 비교를 각각 그림과 식으로 연결하세요(5·10·13·20·21번 대비).
5. 원의 접선과 이동 조건을 중심 거리로 바꾸고, 거리의 비로 주어진 자취에서 다른 원의 중심 영역까지 구하세요. 접하는 경계를 빠뜨리지 마세요(16·17번 대비).
6. 산술평균과 기하평균은 양수 조건과 등호 조건을 함께 쓰세요. 치환한 변수의 범위를 먼저 구한 뒤 원래 변수로 되돌리는 연습을 하세요(14·22번 대비).
7. 직선의 대칭이동과 접선의 중근 조건을 결합하세요. 나누기 전에 제외할 경우와 대칭 후 같은 직선이 되는 경우를 따로 점검하세요(23번 대비).