관악고등학교
2025년 1학년 2학기 기말고사

관악고 1학년 2학기 기말 공통수학2는 어떤 시험인가

관악고등학교는 서울 영등포구에 있습니다. 출제 단원은 명제, 함수, 합성함수와역함수, 절대부등식, 유리함수, 무리함수입니다. 명제의 참거짓과 함수의 기본 정의를 묻는 문제부터 그래프의 위치 관계와 최솟값을 해석하는 문제까지 이어집니다.

기본 개념을 알고 있는지와 그 개념을 다른 표현으로 바꿀 수 있는지를 함께 살펴야 합니다. 충분조건은 진리집합의 포함 관계로, 도형의 길이는 좌표나 넓이 관계로, 역함수의 함숫값은 원래 함수의 대응으로 바꾸면 풀이의 출발점이 드러납니다.

후반에서는 식을 세운 다음의 검토가 중요합니다. 제곱 전의 부호, 조각별 함수의 적용 구간, 일대일대응에서 제외할 경우가 모두 풀이에 영향을 줍니다. 정리한 식만 남기기보다 그 식이 성립하는 범위를 옆에 적는 습관이 유용한 시험입니다.

난이도 분포 — 초반 개념 확인과 후반 조건 해석

1~6번은 자동 분류 기준 쉬움입니다. 명제의 정의, 항등함수, 역함수와 합성함수의 기본 대응을 정확히 적용하는 구간입니다. 익숙한 용어를 대충 읽으면 대우와 역을 혼동하거나 합성 순서를 뒤집을 수 있으므로, 빠르게 풀되 정의를 기준으로 판단하세요.

보통 문항에서는 여러 개념을 연결합니다. 9번은 무리함수의 그래프에서 구한 정보를 유리함수로 옮기고, 12번은 접한다는 조건을 최솟값 문제로 연결합니다. 15·16번처럼 예외나 반례를 따로 살펴야 하는 문제도 있어 중간 구간을 단순 계산만으로 처리하기는 어렵습니다.

어려움 문항은 객관식 중간에 섞여 나오다가 후반에 이어집니다. 17·18번에서 시간이 길어지면 서술·단답형 전체를 확인해 접근 가능한 21번도 살펴보세요. 난이도는 자동 분류 기준이며, 실제 응시자가 느낀 난도 순위를 뜻하지는 않습니다.

출제 단원 — 명제의 논리와 함수 그래프의 연결

명제는 가장 많은 단원이며 정의 확인, 대우 증명, 진리집합, 필요충분조건을 고르게 다룹니다. 10번은 명제가 거짓이라는 말을 구간의 교집합으로 바꾸고, 13번은 모든 실수에 대한 조건과 충분조건을 함께 사용합니다. 문장을 기호로 옮기는 단계에서 방향과 부정을 확인하세요.

유리함수와 무리함수에서는 그래프를 도형이나 직선과 연결합니다. 11번의 둘레 최소와 넓이, 14번의 좌표로 표현한 길이, 18·19번의 교점 변화는 서로 다른 접근을 요구합니다. 그래프의 모양을 외우는 데서 나아가 이동 방향과 경계에서 생기는 변화를 설명할 수 있어야 합니다.

절대부등식은 다른 단원의 도구로도 쓰입니다. 11번에서는 유리함수로 표현한 둘레에 산술평균과 기하평균의 관계를 적용하고, 21번에서는 도형의 넓이로 얻은 제약을 활용합니다. 단원별 분류와 별개로 양수 조건과 등호 성립 여부를 연결해 연습하세요.

문항별 정리

같은 지역 학교와 비교 — 영등포구의 문항 구성

같은 2025학년도 1학년 2학기 기말고사 공통수학2를 치른 영등포구 학교들과 비교하면, 관악고의 총 22문항은 이웃 학교 평균 22문항과 같습니다. 서술·단답형은 4문항으로 이웃 학교 평균 5.5문항보다 적습니다. 형식의 수가 적어도 19·20·22번의 조건 정리에는 충분한 시간이 필요합니다.

자동 분류 기준 어려움 비율은 관악고가 32%로 이웃 학교 평균 48%보다 낮으며, 어려움 비율 순위는 3개교 중 3위입니다. 이 비율만으로 실제 시험 성적이나 개별 학생의 체감 부담을 판단할 수는 없습니다. 관악고에서는 초반 개념 문항을 안정적으로 처리하고 후반에 시간을 남기는 전략을 연습하세요.

가장 많은 단원은 관악고와 여의도고등학교가 명제이고 장훈고등학교는 합성함수와역함수입니다. 관악고 학생은 명제의 방향과 진리집합을 우선 정리하되, 후반의 무리함수·유리함수와 함수 개수 문제까지 준비해야 합니다. 단원 빈도와 어려운 문항의 위치를 함께 보며 학습 시간을 배분하세요.

주의 문항 — 분석상 고난도 문항 3개

이 문항들은 자동 분류 기준 어려움에 속하며, 조건 처리 구조를 근거로 고른 분석상 고난도 문항입니다. 공통적으로 식을 푼 뒤 정의역과 그래프의 위치로 돌아가 확인해야 합니다. 구간, 교점 개수, 근의 순서를 풀이 옆에 표시하면 검토할 대상을 분명히 할 수 있습니다.

시간 배분과 놓치기 쉬운 조건

첫 풀이에서는 1~6번의 개념 문제를 정확하게 처리하고 중간 문항의 접근법을 빠르게 확인하세요. 11·13번에서 조건 정리가 길어지면 표시한 뒤 뒤쪽의 보통 문항을 살펴보는 편이 좋습니다. 번호순으로 모든 문제를 끝내려 하기보다 전체를 훑어 해결 가능한 문제를 찾는 연습이 필요합니다.

서술·단답형에서는 계산 전에 분류 기준을 짧게 적으세요. 19번은 그래프의 분기, 20번은 자유롭게 정할 함숫값과 제외할 경우, 22번은 절댓값의 분기와 근의 순서가 출발점입니다. 21번은 넓이로 제약을 얻는 구조가 보이면 먼저 풀 수 있으므로 후반 문항을 한꺼번에 미루지 마세요.

마지막 검토는 조건이 달라지는 지점을 중심으로 하세요. 10번은 닫힌 구간의 끝점, 13번은 엄격한 부등호, 15번은 교점 방정식의 차수가 낮아지는 예외를 확인해야 합니다. 18·19번은 정의역과 제곱 전 부호, 11·12·21번은 등호 성립 조건이 실제 범위에서 가능한지를 점검하세요.

다음 시험 대비 학습 순서

1. 명제의 정의와 대우부터 복습하세요. 거짓인 명제와 명제가 아닌 문장을 구별하고, 대우를 쓸 때 순서와 부정을 함께 점검하세요(1·4·8번 대비).
2. 진리집합을 구간이나 도형으로 표현하세요. 충분조건의 방향, 부정, 전체집합과 공집합의 관계를 말로도 설명해 보세요(10·13·16번 대비).
3. 함수의 기본 대응에서 합성과 역함수로 확장하세요. 입력과 출력, 합성 순서를 적고 조각별 정의의 구간별 치역을 확인하세요(2·3·6·7·17번 대비).
4. 산술평균과 기하평균은 제약을 얻는 단계부터 연습하세요. 둘레·접점·넓이 조건을 식으로 바꾼 뒤 양수 조건과 등호의 실현 가능성을 확인하세요(5·11·12·21번 대비).
5. 유리함수와 무리함수의 그래프를 직접 스케치하세요. 시작점·점근선·이동 방향을 표시하고 직선이나 도형과의 교점이 바뀌는 경계를 찾으세요(9·14·15·18·19번 대비).
6. 경우 세기와 절댓값 문제에서는 제외할 조건을 따로 쓰세요. 대칭 때문에 연동되는 함숫값과 유리식이 취할 수 없는 값을 정리한 뒤 가능한 경우를 검토하세요(20·22번 대비).