용문고등학교
2025년 1학년 2학기 기말고사

용문고 1학년 2학기 기말 공통수학2는 어떤 시험인가

용문고등학교는 서울 성북구에 있습니다. 출제 단원은 집합과 명제, 함수와 합성함수·역함수, 유리함수·무리함수, 절대부등식입니다. 집합의 원소와 포함 관계를 읽는 기초부터 함수의 조건과 도형의 최적화까지 범위가 이어집니다.

초반에는 집합의 기본 연산, 명제의 역, 구간별 함수의 함숫값처럼 개념을 직접 적용하는 문제가 놓여 있습니다. 다만 기본형에서도 전체집합이나 구간 끝점, 함수의 적용 순서를 놓치면 오류가 생깁니다. 익숙한 유형일수록 조건을 짧게 확인하고 계산하는 습관이 필요합니다.

후반에는 조건을 다른 표현으로 옮기는 일이 중요합니다. 명제는 진리집합과 판별식으로, 역함수는 입력과 출력의 대응으로, 유리함수의 교점은 구간별 방정식으로 바꾸어야 합니다. 서술·단답형이 끝난 뒤에도 객관식 23번이 남아 있으므로 시험지 전체의 번호와 형식을 먼저 확인하세요.

난이도 분포 — 초반 기본형과 후반 조건 해석

쉬움은 1~9번에 모여 있습니다. 개념을 바로 적용할 수 있는 구간이지만 4번의 역과 원래 명제를 혼동하거나 9번의 열린 구간을 닫힌 구간으로 읽지 않도록 주의해야 합니다. 이 구간에서 계산을 안정적으로 마치면 뒤의 조건 해석에 시간을 남길 수 있습니다.

보통은 10·11·13·14·15·19·20번입니다. 부분집합의 선택, 충분조건의 포함 방향, 부등식의 등호 조건처럼 기본 개념을 다른 형태로 해석합니다. 서술·단답형의 19·20번도 보통이므로 앞의 어려움 문항에서 멈추기보다 접근 가능한 문제를 찾아 이어가세요.

어려움은 12·16·17·18·21·22·23번입니다. 자동 분류 기준이며 각 문항의 실제 체감 난도를 확정하는 지표는 아닙니다. 논리와 이차식, 합성과 수의 종류, 도형과 부등식을 연결하는 문항이 있어 계산량보다 첫 접근을 정하는 데 시간이 걸릴 수 있습니다.

출제 단원 — 집합·명제·합성함수와역함수의 비중

집합과 명제는 각각 5문항입니다. 집합에서는 원소의 개수와 부분집합 조건이 반복되고, 명제에서는 진리집합과 역의 참·거짓에서 충분조건과 귀류법으로 확장됩니다. 계산식만 암기하기보다 집합 그림과 논리 문장을 서로 바꾸는 연습이 도움이 됩니다.

합성함수와역함수도 5문항이며 16·17·23번이 자동 분류 기준 어려움입니다. 단순한 합성 계산에서 출발해 역함수의 관계식, 유리수·무리수에 따른 분기, 유한집합에서의 일대일대응까지 다룹니다. 같은 단원 안에서도 함수를 식으로 보는 관점과 대응으로 보는 관점을 함께 익혀야 합니다.

유리함수와 무리함수는 초반 기본 그래프 문제와 후반 서술·단답형이 연결됩니다. 절대부등식은 직선의 절편과 입체도형에 적용됩니다. 그래프의 시작점·점근선, 양수 조건, 최댓값·최솟값을 실제로 만드는 등호 조건까지 묶어 복습하세요.

문항별 정리

같은 지역 학교와 비교 — 성북구의 문항 구성과 준비 방향

같은 2025학년도 1학년 2학기 기말고사 공통수학2를 치른 성북구 학교들과 비교하면, 용문고는 총 23문항으로 지역 평균 22.7문항과 비슷합니다. 서술·단답형은 4문항으로 평균 2.8문항보다 많습니다. 자동 분류 기준 어려움 비율은 30%로 평균 32%보다 낮으며, 7개교 중 4위입니다.

가장 많은 단원은 학교마다 다릅니다. 명제가 중심인 학교, 집합이 중심인 학교, 함수가 중심인 학교가 있는 반면 용문고는 집합·명제·합성함수와역함수가 함께 큰 비중을 차지합니다. 용문고 학생은 이웃 학교 문제를 풀 때도 단원 구성의 차이를 고려하고, 합성과 역함수의 다양한 조건을 별도로 보강하세요.

문항 수나 어려움 비율만으로 풀이 부담을 모두 설명할 수는 없습니다. 용문고는 서술·단답형에서 원소 수의 범위, 귀류법, 교점의 구간 검토, 기울기 변형을 다루므로 계산 결과에 이르는 근거를 간결하게 적는 연습이 필요합니다. 기본형을 빠르게 푼 뒤 이러한 조건 처리에 시간을 배정하세요.

주의 문항 — 분석상 고난도 문항 3개

이 문항들은 이용자 투표에 따른 난도 순위가 아니라 조건 해석의 구조를 보고 고른 분석상 고난도 문항입니다. 공통점은 식을 계산하기 전에 논리나 정의역에 따라 적용할 규칙을 정해야 한다는 것입니다. 풀이 시작 부분에 변환 근거를 적고, 계산 후 원래 조건으로 돌아와 검토하세요.

시간 배분과 놓치기 쉬운 조건

첫 풀이에서는 1~9번의 기본형을 정확히 처리하고, 이후 막히는 문제는 표시해 두세요. 12번에서 시간이 길어져도 뒤의 13~15번과 서술·단답형 19·20번을 확인할 필요가 있습니다. 번호가 뒤라는 이유만으로 모두 어렵다고 판단하지 말고, 전체를 살펴 접근 가능한 유형부터 풀어 보세요.

서술·단답형은 답을 얻기 전의 핵심 근거를 남기는 방식으로 연습하세요. 19번은 차집합의 범위, 20번은 귀류법의 가정과 모순, 21번은 구간별 근의 위치, 22번은 좌표 변환과 약분 근거가 중요합니다. 연습할 때 풀이 시작에 걸리는 시간과 계산 시간을 나누어 기록하면 보완할 지점이 보입니다.

마지막에는 조건을 중심으로 검토하세요. 9·11번의 끝점 포함 여부, 12번의 엄격한 부등호, 13·18번의 등호 성립 가능성, 14번의 공집합 제외를 확인해야 합니다. 21번은 분모가 사라지는 점과 중근, 22번은 서로 다른 두 점이라는 조건, 23번은 출력의 중복 여부를 점검하세요.

다음 시험 대비 학습 순서

1. 집합의 원소 수를 벤다이어그램의 서로 겹치지 않는 영역으로 표시하세요. 최대·최소에서는 여집합이 만드는 상한까지 써 보세요(1·2·19번 대비).
2. 포함 관계와 진리집합을 수직선으로 표현하세요. 열린 끝점과 닫힌 끝점을 구별한 뒤 명제의 방향에 맞게 비교하세요(3·4·9·10·11번 대비).
3. 전칭 조건과 충분조건을 집합 관계로 옮기고, 귀류법은 가정부터 모순까지 말로 설명해 보세요. 판별식과 서로소 조건이 쓰이는 이유를 연결하세요(12·20번 대비).
4. 구간별 함수와 합성함수는 중간 입력을 적으며 계산하세요. 역함수는 입력·출력 교환과 합성 순서의 변화를 확인하고 유한집합의 대응표로 확장하세요(5·6·14·15·16·17·23번 대비).
5. 유리함수·무리함수의 기본 그래프에서 출발해 절댓값에 따른 분기와 좌표 변환을 연습하세요. 교점은 실근의 존재와 정의역을 함께 확인하세요(7·8·21·22번 대비).
6. 최대·최소는 도형 조건을 식으로 옮긴 뒤 적절한 부등식을 선택하세요. 산술평균과 기하평균, 코시슈바르츠 부등식을 적용하고 등호 조건의 실현 가능성을 확인하세요(13·18번 대비).