혜성여자고등학교
2025년 1학년 2학기 기말고사

혜성여고 1학년 2학기 기말 공통수학2는 어떤 시험인가

혜성여자고등학교는 서울 노원구에 있습니다. 이번 시험에서 확인되는 범위는 명제, 함수, 합성함수와역함수, 유리함수, 무리함수, 절대부등식입니다. 논리적 판단과 함수의 대응 관계를 함께 준비해야 하는 구성입니다.

명제에서는 진리집합의 연산뿐 아니라 대우와 삼단논법, 필요조건과 충분조건, 명제의 부정, 귀류법까지 다룹니다. 참인 관계를 확인하는 계산과 거짓인 방향의 반례를 찾는 판단이 모두 필요합니다. 함수에서도 식을 구하는 것만으로 끝나지 않고 그 식이 허용되는 범위를 따져야 합니다.

초반의 기본형을 처리한 뒤에는 다른 개념을 연결해야 합니다. 무리함수와 역함수의 교점, 유리함수 위 점들의 기하 관계, 구간별 함수의 일대일대응 조건이 대표적입니다. 풀이를 시작하기 전에 정의역과 조건을 표시하면 불필요한 계산을 줄일 수 있습니다.

난이도 분포 — 중반부터 이어지는 조건 해석

쉬움 문항은 진리집합, 함수의 뜻, 무리식의 실수 조건, 서로 같은 함수처럼 기본 정의를 적용하는 내용입니다. 다만 3번에서 조건의 공통부분을 구하거나 5번에서 주어진 정의역만 살피는 과정처럼, 기본형에서도 문제에 적힌 범위를 읽는 습관이 필요합니다.

보통 문항은 초반에만 모여 있지 않습니다. 9·10·12번과 서술·단답형 18번에서도 접근 가능한 문제를 찾을 수 있습니다. 7·8번에서 풀이가 지연되면 뒤의 문항을 먼저 확인하세요. 번호가 뒤라는 이유만으로 모두 같은 수준의 부담을 예상할 필요는 없습니다.

13~17번은 자동 분류 기준 어려움 문항이 이어집니다. 부정과 판별식의 연결, 반복 합성의 추적, 치환 후 최솟값, 도형 조건의 대수화, 정수 개수의 경우 나누기가 차례로 요구됩니다. 이 분류는 실제 응시자의 체감 난도를 확정하는 수치가 아니라 학습 순서를 정할 때 참고할 기준입니다.

출제 단원 — 명제와 함수의 조건을 연결하는 구성

명제는 가장 많은 문항이 출제됐으며 기본 집합 연산에서 증명까지 폭이 넓습니다. 13번은 논리 표현을 이차식의 부호 조건으로 바꾸고, 17번은 조건으로 정의된 함수의 값을 집합의 소속 관계로 바꿉니다. 명제 기호만 외우기보다 같은 조건을 문장·집합·부등식으로 번역하는 연습이 필요합니다.

합성함수와역함수에서는 대응표, 그래프, 구간별 식, 반복 적용이 모두 등장합니다. 8번과 10번은 입력과 출력의 방향을 추적하고, 11번은 함수 전체가 일대일대응이 되는지를 판단합니다. 18번은 합성식의 안쪽을 치환해 바깥 함수를 복원하는 기본 절차를 확인합니다.

무리함수는 실수 조건에서 역함수 관계, 최솟값, 평행이동한 그래프의 위치 관계로 확장됩니다. 유리함수의 16번도 좌표와 직선의 기울기를 함께 사용합니다. 함수 단원을 공부할 때 계산 문제와 그래프 문제를 따로 떼어 두기보다, 식에서 얻은 조건을 그림에 표시하며 연결하세요.

문항별 정리

같은 지역 학교와 비교 — 노원구의 조건 해석 대비

같은 2025학년도 1학년 2학기 기말고사 공통수학2를 치른 노원구 학교들과 견주면, 혜성여고의 총 문항 수는 지역 평균 20.4문항에 가깝고 서술·단답형은 평균 3.4문항보다 적습니다. 반면 자동 분류 기준 어려움 비율은 50%로 지역 평균 38%보다 높으며, 9개교 중 3위입니다. 서술·단답형의 개수만으로 전체 풀이 부담을 판단하기 어렵습니다.

명제가 가장 많은 단원인 학교에는 불암고등학교, 서라벌고등학교, 청원고등학교도 있습니다. 합성함수와역함수가 가장 많은 학교들과 비교해 혜성여고를 준비할 때는 함수 문제 연습에 더해 부정, 진리집합, 증명의 문장 연결까지 챙기세요. 단원 이름이 같아도 요구하는 표현 방식은 다를 수 있으므로 이 시험의 문항별 접근을 먼저 익히는 편이 좋습니다.

주의 문항 — 분석상 고난도 문항 3개

이들은 풀이의 조건 연결을 근거로 고른 분석상 고난도 문항입니다. 이용자 투표로 확정한 난도 순위는 아닙니다. 공통적으로 처음 조건을 다른 표현으로 옮긴 뒤에도 그 의미를 유지해야 하므로, 계산 전에는 판단 기준을 적고 계산 후에는 원래 조건으로 돌아와 검토하세요.

시간 배분과 놓치기 쉬운 조건

첫 풀이에서는 정의를 바로 적용할 수 있는 문항을 확보하세요. 7·8번에서 그래프 해석이 막히면 표시하고 9·10번을 확인하는 방식이 좋습니다. 후반에도 18번의 합성함수 치환처럼 출발점이 명확한 문항이 있으므로, 앞 번호를 모두 풀어야 다음으로 넘어간다는 방식은 피하세요.

서술·단답형은 18번과 19번의 요구가 다릅니다. 18번은 치환한 변수의 범위와 복원한 함수의 최솟값을 정리하고, 19번은 가정과 모순의 연결 근거를 남겨야 합니다. 연습할 때 계산 시간과 설명을 정리하는 시간을 함께 기록해, 증명 문항을 급하게 마무리하지 않도록 하세요.

마지막 검토에서는 7·11번의 정의역과 치역, 13번의 부등호와 등호, 15번의 치환 변수 범위, 17번의 구간 끝점을 확인하세요. 20번은 곡선의 끝점과 점근선을 먼저 표시해야 합니다. 교점 계산이 맞더라도 원래 허용된 구간 밖의 점이라면 사용할 수 없습니다.

다음 시험 대비 학습 순서

1. 함수의 정의와 진리집합부터 복습하세요. 그래프의 수직선 검사, 제한된 정의역에서 같은 함수, 여집합과 교집합을 직접 설명해 보세요(1·2·3·5번 대비).
2. 명제의 방향을 화살표로 정리하세요. 대우와 삼단논법을 연결하고 필요조건과 충분조건의 각 방향에 증명 또는 반례를 붙여 보세요(4·12번 대비).
3. 대응표와 그래프를 이용해 합성과 역함수를 연습하세요. 반복 적용의 단계와 합성의 순서를 기록하고 치환으로 바깥 함수를 복원하세요(8·10·14·18번 대비).
4. 정의역·치역을 표시한 그래프를 그리세요. 역함수의 존재 조건, 구간 경계, 평행이동한 곡선의 끝점까지 같은 그림에서 확인하세요(6·7·11·20번 대비).
5. 최솟값 문제에서는 변수의 범위와 등호 성립 조건을 적으세요. 산술평균과 기하평균의 관계, 근호 치환, 좌표와 기울기를 연결하는 유형을 연습하세요(9·15·16번 대비).
6. 논리 문장을 부등식과 증명으로 바꾸세요. 양화사의 부정, 구간 안 정수 세기, 귀류법의 모순 설명을 순서대로 정리하세요(13·17·19번 대비).