영동일고등학교
2025년 1학년 2학기 기말고사

영동일고 1학년 2학기 기말 공통수학2는 어떤 시험인가

영동일고등학교는 서울 송파구에 있습니다. 이번 자료에서 확인되는 범위는 명제, 절대부등식, 함수, 합성함수와역함수, 유리함수, 무리함수입니다. 논리의 기본 개념부터 함수의 대응과 그래프의 위치 관계까지 연결됩니다.

합성 순서와 역대응을 읽는 기본형도 있지만, 역함수가 존재하는 조건을 구간 전체에서 판단하는 문제가 함께 나옵니다. 일대일성만 확인하고 끝내지 말고 주어진 공역을 치역이 모두 채우는지 확인해야 합니다. 구간별로 정의된 함수에서는 각 부분이 연결되는 방식까지 살펴야 합니다.

그래프 문제는 모양을 외워 적용하는 것보다 변형 전후의 관계를 읽는 일이 중요합니다. 평행이동한 유리함수의 넓이, 절댓값을 적용한 그래프의 교점, 무리함수의 시작점과 사분면 조건 등이 그 예입니다. 스케치에 정의역의 끝점과 제외점을 함께 적는 연습이 필요합니다.

난이도 분포 — 초반의 변형 문제와 후반의 조건 해석

쉬움 문항에서는 명제의 역과 대우, 귀류법, 합성함숫값과 역대응을 확인합니다. 초반이라고 모두 같은 수준은 아닙니다. 4번은 유리함수의 평행이동을 도형의 넓이와 연결해야 하므로, 바로 접근이 보이지 않으면 표시하고 다음 문항을 확인하세요.

보통 구간도 조건 확인이 필요합니다. 9번은 존재를 뜻하는 표현을 함수의 최댓값과 연결하고, 17번은 일대일함수의 중복 금지를 경우 세기에 반영합니다. 21번은 서술·단답형이지만 보통으로 분류되어 있어 뒤쪽 번호를 일괄적으로 미룰 필요는 없습니다.

어려움 문항은 대응 추론, 그래프 변형, 경우 분류에 걸쳐 있습니다. 후반에는 역함수 존재 조건과 최솟값을 연결하는 22번, 교점을 구간별로 세는 23·24번이 이어집니다. 이 난이도는 자동 분류 기준이며 실제 응시자의 체감 난도를 확정하는 수치는 아닙니다.

출제 단원 — 합성함수와역함수 중심, 그래프 조건으로 확장

합성함수와역함수는 단순 대입에서 유한집합의 대응 추론, 일차함수의 계수 비교, 구간별 함수의 일대일대응까지 폭이 넓습니다. 역함수 식을 직접 구하는 연습과 별도로, 출력에서 입력을 되짚고 여러 조건을 동시에 만족시키는 대응을 정리해 보세요.

유리함수는 역함수 계산뿐 아니라 평행이동, 절댓값, 직선과의 위치 관계를 다룹니다. 무리함수는 시작점과 그래프의 방향을 사분면 및 교점 조건으로 바꾸어야 합니다. 두 단원 모두 분모나 근호에서 생기는 정의역 제한을 그림과 식에 일관되게 반영하는 것이 중요합니다.

명제와 절대부등식은 함수 문제를 보완하는 기반입니다. 명제의 참 조건을 진리집합의 포함 관계나 구간의 최댓값으로 옮기고, 산술평균과 기하평균의 관계에서는 양수 조건과 등호 성립 조건을 함께 확인하세요. 최솟값의 하한을 얻는 것과 실제로 그 값에 도달함을 보이는 것은 별도의 단계입니다.

문항별 정리

작년 시험과 비교 — 과목 변경을 고려한 구성 변화

작년은 수학(하), 올해는 공통수학2로 과목이 다릅니다. 표의 최다 단원은 각 시험의 구성을 보여 주는 정보이며, 직접적인 단원 비중 비교는 공통으로 출제된 단원에 한정해야 합니다. 자동 분류 기준으로 쉬움은 줄고 보통은 늘었으며 어려움도 늘었습니다. 이 변화만으로 실제 체감 난도가 얼마나 달라졌는지 단정할 수는 없습니다.

공통 단원인 합성함수와역함수는 작년 3문항에서 올해 8문항으로 늘었습니다. 유리함수는 각각 5문항이고, 무리함수는 5문항에서 3문항, 함수는 3문항에서 2문항으로 바뀌었습니다. 올해 무리함수는 문항 수가 줄었지만 모두 어려움으로 분류되어, 출제 수만으로 학습 우선순위를 낮추기 어렵습니다.

작년의 어려움 문항은 12번 이후에 있었지만 올해는 4번부터 등장합니다. 서술·단답형은 작년 19~23번에서 올해 21·22·24번으로 바뀌고 그 사이에 객관식이 들어갑니다. 다음 준비에서는 번호에 따른 난도 예상보다 전체 문항을 살펴 접근 순서를 정하고, 역함수의 존재 조건과 그래프 교점 유형을 함께 연습하세요.

주의 문항 — 분석상 고난도 문항 3개

이 문항들은 이용자 투표로 확인된 순위가 아니라 조건 처리 과정을 근거로 선정한 분석상 고난도 문항입니다. 공통점은 계산 전에 경우의 범위를 정하고 계산 뒤 다시 그 범위로 돌아온다는 것입니다. 풀이 옆에 구간과 제외 조건을 남겨 두면 검산 기준이 분명해집니다.

시간 배분과 놓치기 쉬운 조건

첫 풀이에서는 합성 대입과 논리의 기본형을 먼저 처리하고, 4번에서 도형 재배열이 보이지 않으면 다음으로 넘어가세요. 후반의 21번도 진리집합으로 접근 가능한 문항입니다. 번호만 따라 끝까지 풀기보다 전체를 확인해 출발 방법이 보이는 문항부터 확보하는 연습이 좋습니다.

22·24번은 계산을 시작하기 전에 조건을 짧게 적어 두세요. 22번은 단조성과 치역의 연결, 24번은 절댓값 구간과 제외점이 출발점입니다. 연습에서는 경우를 나누는 데 걸린 시간과 실제 계산 시간을 구별해 기록하고, 분류 기준을 반복해서 정리하세요.

마지막 검토는 경계 조건을 중심으로 하세요. 9·21번은 부등호와 끝점 포함 여부, 10번은 역함숫값 후보의 정의역, 16번은 제곱 전 부호, 23번은 치환 변수의 범위와 중복 교점이 중요합니다. 최솟값 문제인 5·15·22번에서는 등호 성립이 가능한지도 확인하세요.

다음 시험 대비 학습 순서

1. 명제의 역·대우·부정과 귀류법을 문장으로 설명한 뒤, 존재 조건과 진리집합의 포함 관계로 확장하세요(1·3·9·21번 대비).
2. 대응 그림과 합성 순서부터 익히고 역함숫값은 입력을 되찾는 문제로 해석하세요. 유한집합에서는 사용한 출력을 표시하세요(2·6·10·12번 대비).
3. 일대일성과 치역을 구별해 확인하세요. 제한된 이차함수에서 시작해 구간별 함수의 연결 조건으로 확장하세요(7·11·22번 대비).
4. 유리함수는 표준형으로 바꾼 뒤 중심·점근선·정의역을 표시하세요. 평행이동과 절댓값 변형을 그림으로 연결하세요(4·8·13·14·24번 대비).
5. 무리함수의 시작점과 진행 방향을 그린 뒤 사분면과 교점 조건을 정리하세요. 치환할 때 범위와 중복점을 함께 기록하세요(16·20·23번 대비).
6. 양수 조건과 등호 성립을 함께 쓰는 최솟값 풀이, 항등식의 계수 비교, 일대일함수의 중복 없는 경우 세기를 보완하세요(5·15·17·18·19·22번 대비).