덕수고등학교
2022년 1학년 1학기 기말고사

덕수고 1학년 1학기 기말 수학(상)은 어떤 시험인가

자료의 지역 정보는 서울 송파구입니다. 확인되는 출제 범위는 이차함수, 여러가지방정식, 여러가지부등식, 평면좌표, 직선의방정식입니다. 함수와 방정식의 관계에서 좌표를 이용한 도형 해석까지 연결됩니다.

앞부분은 판별식, 인수분해, 좌표 공식 등 기본 도구를 정확하게 적용하는지 확인합니다. 중간 구간에서는 무게중심과 근과 계수의 관계, 정수 조건과 인수분해, 거리의 최댓값과 수직 관계처럼 서로 다른 개념을 연결해야 합니다. 식이 길어지기 전에 무엇을 구할지 정리하는 습관이 필요합니다.

후반부는 조건을 해석한 뒤 계산을 시작하는 능력이 중요합니다. 이차함수의 대칭성으로 축을 정하거나, 접한다는 조건을 중근으로 옮기거나, 정수해의 개수를 구간의 끝점과 연결해야 합니다. 서술·단답형에서는 계산 결과뿐 아니라 그 식을 세운 근거까지 정리하며 연습하세요.

난이도 분포 — 후반의 조건 해석과 서술형 운영

쉬움 구간에서는 판별식과 축, 수직 조건, 삼차식의 인수분해 등을 빠르고 정확하게 처리해야 합니다. 13번은 그래프와 부등식의 해석을, 22번은 좌표를 이용한 증명을 다룹니다. 자동 분류 기준 쉬움이라고 해서 계산 없이 지나갈 수 있는 문제라는 뜻은 아닙니다.

보통 문항은 개념을 연결하거나 판단의 근거를 고르는 문제가 중심입니다. 12번은 거리 공식을 바로 계산하기 전에 고정점을 찾는 접근이 유용하고, 16번은 각 그래프의 교점을 합산한 뒤 중복을 살펴야 합니다. 14·15번처럼 명제의 참과 거짓을 묻는 유형에서는 반례와 그래프의 대칭성을 활용하세요.

어려움 문항은 객관식 마지막 구간과 서술·단답형에 배치되어 있습니다. 18~21번에서 풀이 시간이 길어져도 22번을 확인할 여유를 남기는 편이 좋습니다. 난이도는 자동 분류 기준이며, 실제 응시자의 체감 난도나 문항별 성적을 뜻하지 않습니다.

출제 단원 — 이차함수 중심의 대수와 좌표 연결

이차함수는 교점의 존재, 접함, 최대·최소, 서로 다른 교점의 개수까지 폭넓게 출제되었습니다. 1·2·3번의 기본형을 익힌 뒤 15·16번의 그래프 판단, 18·21번의 복합 조건으로 학습을 이어가세요. 같은 단원 안에서도 판별식과 축 중 어느 도구가 먼저 필요한지 판단해야 합니다.

여러가지방정식은 삼차방정식의 계산에 그치지 않습니다. 8번의 켤레근, 11번의 정수 조건, 14번의 사차방정식 성질, 19번의 서로 다른 실근을 함께 준비해야 합니다. 인수분해 이후에도 실근의 존재와 기존 근과의 중복을 확인하는 단계가 남습니다.

좌표 단원은 식을 세우는 방식이 풀이량을 좌우합니다. 5번에서는 개별 교점보다 좌표의 합을, 12번에서는 거리식보다 고정점과 수직 관계를 먼저 살펴보세요. 부등식은 구간 분할과 경계 확인이 공통 과제이며, 23번에서는 정수해의 개수를 셀 때 끝점의 정수 여부까지 고려해야 합니다.

문항별 정리

주의 문항 — 분석상 고난도 문항 3개

이 문항들은 풀이에서 조건을 여러 단계로 해석해야 한다는 점을 근거로 선정한 분석상 고난도 문항입니다. 확정된 난도 순위는 아닙니다. 공통적으로 계산을 마친 뒤 처음의 전제로 돌아가야 하므로, 부호·좌표의 위치·끝점 조건을 풀이 옆에 적어 두고 마지막에 다시 대조하세요.

시간 배분과 놓치기 쉬운 조건

첫 풀이에서는 기본 접근이 보이는 문항을 먼저 확보하세요. 객관식 후반에서 경우 분류가 길어지면 표시하고 서술·단답형까지 훑어보는 편이 좋습니다. 특히 22번은 좌표 설정이 보이면 증명을 진행할 수 있으므로, 18~21번을 모두 마친 뒤에만 접근하겠다는 순서를 고집할 필요는 없습니다.

조건을 읽는 단계와 계산하는 단계를 나누어 연습하세요. 19번은 이차인수의 서로 다른 실근 조건과 이미 분리한 일차인수의 근과 겹치지 않는 조건이 별개입니다. 21번은 접하는 두 함수의 차를 먼저 표현하면 공통인 일차함수를 없앨 수 있습니다. 출발점을 짧게 적어 두면 재검토할 때도 도움이 됩니다.

마지막 검토에서는 9번의 구간별 해와 가정한 구간의 교집합, 10번의 엄격한 부등호, 16번의 중복 교점, 23번의 끝점 포함 여부를 확인하세요. 22번의 증명은 좌표를 정한 이유와 양변이 같은 식으로 정리된다는 연결을 남겨야 합니다. 연습에서는 조건 누락과 계산 실수를 구별해 기록하고, 자주 빠뜨리는 조건을 검토 순서에 넣으세요.

다음 시험 대비 학습 순서

1. 판별식과 접함을 연결하세요. 축과 꼭짓점을 표시한 뒤 교점의 존재와 최대·최소를 구별해 설명해 보세요(1·2·3번 대비).
2. 좌표 공식은 필요한 정보만 구하는 방식으로 연습하세요. 무게중심에는 좌표의 합을 활용하고, 내분·외분은 점의 위치를 수직선에 함께 나타내세요(5·7번 대비).
3. 삼차식의 인수분해에서 켤레근과 근의 중복 검사로 확장하세요. 실수 계수 조건과 정수 조건이 각각 어떤 추가 제한을 만드는지 정리하세요(6·8·11·14·19번 대비).
4. 부등식은 부호가 바뀌는 지점과 끝점의 포함 여부를 먼저 적으세요. 구간을 나눈 뒤 해를 합치는 문제에서 정수해 개수 문제로 이어가세요(9·10·13·23번 대비).
5. 직선과 도형에서는 고정점, 수직 관계, 같은 넓이를 식으로 옮기세요. 좌표를 모두 계산하기 전에 거리나 넓이를 단순하게 표현할 방법을 찾으세요(4·12·17·20번 대비).
6. 이차함수의 복합 조건을 그래프와 식으로 함께 정리하세요. 대칭성, 서로 다른 교점, 절댓값의 부호, 접하는 함수의 차를 차례로 연습하세요(15·16·18·21번 대비).
7. 좌표 증명은 원점과 축을 정하는 이유부터 써 보세요. 대칭적인 좌표로 거리의 제곱을 표현하고 전개 과정에서 항이 소거되는 구조를 확인하세요(22번 대비).