덕수고등학교
2024년 1학년 1학기 중간고사

덕수고 1학년 1학기 중간 수학(상)은 어떤 시험인가

덕수고등학교는 서울 송파구에 있습니다. 이번 자료에서 확인되는 출제 범위는 다항식, 항등식, 복소수, 이차방정식, 이차함수입니다. 다항식의 계산과 인수분해에서 출발해 근의 성질, 나머지의 구조, 함수의 교점 해석까지 이어집니다.

초반에는 정의와 기본 공식의 적용이 중심입니다. 복소수의 실수부와 허수부를 구별하고, 다항식에서 필요한 차수의 항을 모으며, 판별식을 근의 종류와 연결하는 정확성이 필요합니다. 단순히 공식을 외우는 데서 그치지 말고 어떤 조건에서 쓸 수 있는지 함께 설명할 수 있어야 합니다.

후반에는 같은 개념을 다른 표현으로 옮기는 부담이 커집니다. 항등식의 특정 값 대입으로 인수를 얻거나, 교점의 개수를 새 함수로 읽는 과정이 대표적입니다. 서술·단답형이 마지막 번호에 있지 않으므로 객관식과 서술형을 번호순으로만 구분하지 말고 전체 구성을 먼저 확인하세요.

난이도 분포 — 기본형 이후 후반에 집중되는 조건 결합

자동 분류 기준 쉬움 문항은 1~12번에 연속되어 있습니다. 계수 비교, 켤레근, 판별식, 곱셈 공식처럼 출발 개념이 비교적 뚜렷합니다. 다만 2·8번처럼 개념의 참과 거짓을 판단하거나 10번처럼 인수가 아닌 것을 고르는 문항에서는 계산보다 읽기 실수에 주의해야 합니다.

보통 구간의 13~16번은 근의 합과 곱을 변형하거나 여러 조건을 동시에 적용해야 합니다. 특히 16번은 움직이는 구간 안에 근이 들어오는 조건을 부등식으로 바꾸는 문제이므로, 방정식 계산에 앞서 구간과 근의 위치를 그려 보는 편이 좋습니다.

17·18·20번은 자동 분류 기준 어려움입니다. 항등식과 나머지, 항등식과 복소수, 그래프와 개수 함수처럼 표현을 연결하는 단계가 포함됩니다. 이 분류는 실제 응시자의 체감 난도를 확정하는 지표가 아니지만, 풀이를 시작하는 방법을 별도로 연습할 문항을 고르는 데 활용할 수 있습니다.

출제 단원 — 항등식의 비중과 이차함수의 후반 확장

항등식은 기초 계수 비교부터 삼차식으로 나눈 나머지와 고차식의 계수 조합까지 폭이 넓습니다. 9번은 나머지의 차수를 제한하고 대입 조건을 연결하며, 19번은 앞에서 구한 몫을 다시 나누는 구조를 활용합니다. 나머지정리를 하나의 대입 공식으로만 익히면 후반 응용과의 연결이 어려워집니다.

이차함수는 4번의 판별식에서 15번의 대칭성과 최댓값, 16번의 이동 구간, 20번의 교점 개수 함수로 이어집니다. 같은 단원 안에서도 필요한 표현이 다르므로 식, 그래프, 구간 부등식을 서로 바꾸는 연습이 필요합니다. 특히 판별식으로 구한 근이 실제 해당 구간에 있는지 확인하는 습관을 들이세요.

다항식과 복소수의 기본 계산도 독립된 복습으로 끝내지 않는 편이 좋습니다. 6·10번의 공식과 치환은 불필요한 전개를 줄이는 훈련이고, 11번의 허수단위 주기는 18번의 계수 추출을 이해하는 바탕입니다. 단원별 기본형을 정리한 다음 서로 연결되는 문항을 묶어 다시 풀어 보세요.

문항별 정리

작년 시험과 비교 — 기본형의 비중과 후반 어려움 문항의 변화

작년과 올해는 모두 수학(상)입니다. 전체 문항과 서술·단답형은 줄었지만 자동 분류 기준 쉬움과 어려움 문항은 함께 늘고 보통은 줄었습니다. 따라서 전체가 일률적으로 쉬워지거나 어려워졌다고 보기보다 기본형과 후반 응용의 구분이 뚜렷해진 구성으로 해석하는 것이 적절합니다.

작년에는 다항식과 항등식이 공동으로 가장 많았고 올해는 항등식이 가장 많습니다. 이차함수와 복소수의 문항 수는 같으며, 작년 단원 분류에 있던 여러가지방정식은 올해 표에 없습니다. 어려움 문항은 작년 19번에서 올해 17·18·20번으로 분산되어, 항등식과 그래프 해석을 모두 준비할 필요가 있습니다.

다음 시험을 준비할 때에는 초반 기본 계산의 정확성을 확보한 뒤 항등식의 나머지와 대입을 집중적으로 연결하세요. 작년의 문항 배치만으로 올해의 풀이 순서를 정하지 말고, 후반을 먼저 훑어 시작할 수 있는 문제와 조건 정리가 필요한 문제를 구별하는 연습이 좋습니다.

주의 문항 — 분석상 고난도 문항 3개

이들은 이용자 투표로 확인된 난도 순위가 아니라 풀이 구조를 근거로 고른 분석상 고난도 문항입니다. 공통적으로 긴 계산보다 표현을 바꾸는 판단이 중요합니다. 복습할 때에는 계산 결과만 지우고 다시 풀기보다, 어떤 조건 때문에 인수형·복소수 대입·개수 함수라는 표현을 골랐는지 설명해 보세요.

시간 배분과 놓치기 쉬운 조건

첫 풀이에서는 1~12번의 기본형을 정확하게 처리해 후반의 검토 시간을 확보하세요. 전체 전개 대신 목표 계수만 모으기, 공통부분 치환하기처럼 계산량을 줄이는 방법을 사용하되, 문제에서 요구한 대상까지 확인해야 합니다. 막힌 문항은 적용할 개념과 남은 조건을 표시하고 다음 문항을 확인하세요.

13~16번에서는 식을 세우기 전 근의 종류, 정수 조건, 구간 조건을 짧게 적어 두세요. 17·18번에서 접근이 바로 떠오르지 않으면 서술·단답형 19번의 연결 구조를 먼저 확인하는 방법도 있습니다. 19번은 앞 단계의 몫이 다음 단계에서 어떤 역할을 하는지 남겨 두어야 풀이의 근거가 드러납니다.

마지막 검토는 새 계산보다 조건 점검에 쓰세요. 14번은 실근과 서로 다른 허근에서 부등호가 다르고, 15번은 꼭짓점과 끝점의 역할이 다릅니다. 16번은 닫힌구간의 양 끝 포함을, 20번은 함수 조각의 경계와 접점의 위치를 확인하세요. 연습 때는 계산 시간과 출발 방법을 고민한 시간을 구별해 기록하면 보완할 부분을 찾기 쉽습니다.

다음 시험 대비 학습 순서

1. 다항식의 정렬과 목표 계수 찾기부터 점검하세요. 상수배와 뺄셈의 부호를 확인한 뒤 필요한 항만 모으는 방식으로 계산을 줄이세요(5·7번 대비).
2. 곱셈 공식과 공통부분 치환을 묶어 연습하세요. 대입이나 전개 전에 익숙한 식의 구조가 숨어 있는지 찾으세요(6·10번 대비).
3. 항등식의 계수 비교와 나머지정리를 연결하세요. 몫과 나머지의 차수를 먼저 정하고 반복 인수가 있는 경우에는 나눗셈 항등식을 이어 쓰세요(1·9·12·19번 대비).
4. 복소수의 정의와 연산, 거듭제곱 주기를 정리한 뒤 계수 추출로 확장하세요. 주기가 전개 계수의 부호 배열을 어떻게 만드는지 설명해 보세요(2·8·11·18번 대비).
5. 켤레근과 근의 합·곱, 판별식을 구별해 연습하세요. 근을 직접 계산하기 전에 필요한 대칭식과 허근·실근 조건을 정리하세요(3·13·14번 대비).
6. 이차함수는 축과 정의역, 직선의 위치를 먼저 그리세요. 고정된 그래프에서 이동 구간과 교점 수 함수로 확장하고, 마지막에는 항등식의 인수 추론도 함께 재점검하세요(4·15·16·17·20번 대비).