단국대학교사범대학부속고등학교
2024년 1학년 1학기 기말고사

단국대학교사범대학부속고 1학년 1학기 기말 수학(상)은 어떤 시험인가

단국대학교사범대학부속고등학교는 서울 강남구에 있습니다. 이번 자료에서 확인되는 단원은 여러가지방정식, 여러가지부등식, 평면좌표, 직선의방정식, 원의방정식, 이차함수, 함수입니다. 방정식과 부등식의 대수적 처리에 좌표평면의 해석을 연결하는 구성이 특징입니다.

원의방정식에서는 중심과 반지름을 읽는 기본형부터 접선, 원과 직선의 위치 관계, 자취까지 이어집니다. 같은 단원 안에서도 필요한 접근이 다릅니다. 중심을 문자로 나타낼지, 중심과 직선 사이의 거리를 이용할지, 허용되는 호를 먼저 그릴지 판단하는 연습이 필요합니다.

방정식과 함수 문항은 계산 결과의 의미를 묻는 성격이 뚜렷합니다. 서로 다른 실근을 세는 조건, 모든 실수에서 성립하는 부등식, 구간별 그래프의 교점 조건을 구별해야 합니다. 공식을 적용한 뒤 원래 조건으로 돌아와 후보를 검토하는 과정까지 한 번의 풀이로 익히세요.

난이도 분포 — 중후반에 이어지는 조건 해석

1~5번은 자동 분류 기준 쉬움입니다. 원의 표준형, 두 점 사이의 거리, 접선의 기울기, 연립일차부등식, 직선의 방정식을 정확히 적용하는 구간입니다. 빠르게 풀더라도 중심 좌표의 부호나 부등호의 등호 포함 여부를 생략하지 마세요.

6~10번과 19·20번은 자동 분류 기준 보통입니다. 판별식, 켤레근, 내분점, 거리 비교 등 기본 개념을 조건에 맞게 연결해야 합니다. 특히 후반의 19·20번은 접근 구조가 비교적 분명하므로 앞선 어려움 문항 때문에 확인하지 못하는 일이 없도록 하세요.

11~18번은 자동 분류 기준 어려움 문항이 이어지는 구간이고, 마지막 21·22번도 같은 분류입니다. 근의 중복, 그래프의 구간 분할, 도형의 위치 조건처럼 계산 전에 정리할 내용이 많습니다. 이 분류가 실제 응시자의 체감 난도를 확정하는 것은 아니지만, 풀이 순서와 검토 시간을 정하는 참고로 활용할 수 있습니다.

출제 단원 — 원의방정식을 중심으로 대수와 좌표를 연결

원의방정식은 1·3·9·10·14·15·18·19번에 분포합니다. 기본 방정식과 접선에서 출발해 축에 접하는 원, 중심의 자취가 제한된 원, 거리 조건으로 남는 호까지 확장됩니다. 접한다는 말을 중심과 직선 사이의 거리로 바꾸는 방법과 같은 점에서 그은 접선의 길이 관계를 함께 준비하세요.

여러가지부등식에서는 해의 범위뿐 아니라 항상 성립하는 조건, 정수 해의 개수, 근이 특정 구간에 놓이는 조건을 다룹니다. 부등식의 해를 구하는 계산과 그 해를 조건에 맞게 해석하는 단계를 구분해야 합니다. 끝점 포함 여부를 수직선에 표시하면 정수 해를 세는 실수를 줄일 수 있습니다.

평면좌표와 직선의방정식도 거리 계산에서 끝나지 않습니다. 내분점의 사분면 조건, 수직 관계를 활용하는 도형, 이등변삼각형의 경우 분류가 이어집니다. 이차함수의 16번과 함수의 17번은 각각 근과 계수의 관계, 구간별 그래프를 통해 조건을 압축하는 능력을 요구합니다.

문항별 정리

작년 시험과 비교 — 같은 과목에서 달라진 단원과 후반 배치

작년과 올해는 모두 수학(상)입니다. 총 문항 수는 같고 서술·단답형은 줄었지만, 자동 분류 기준 어려움은 늘었습니다. 서술·단답형의 수만으로 부담을 판단하기보다 객관식에서도 여러 조건을 연결해야 하는지 살펴볼 필요가 있습니다.

작년에는 여러가지부등식이 가장 많았고 집합과 명제도 출제됐습니다. 올해는 원의방정식이 중심이며 평면좌표와 직선의방정식이 함께 나타납니다. 공통 단원인 여러가지부등식과 여러가지방정식은 각각 6문항에서 4문항, 5문항에서 3문항으로 줄었고 이차함수는 1문항으로 같습니다.

작년의 마지막 21·22번은 자동 분류 기준 쉬움이지만 올해는 모두 어려움입니다. 올해는 11~18번에도 어려움이 이어집니다. 다음 시험에서는 실제 범위를 먼저 확인하고, 좌표와 거리의 기본형을 익힌 뒤 근의 분리와 그래프의 경우 분류를 보완하세요.

주의 문항 — 분석상 고난도 문항 3개

이 문항들은 이용자 투표에 따른 순위가 아니라 조건 처리 구조를 근거로 고른 분석상 고난도 문항입니다. 공통점은 도형을 식으로 바꾸고 얻은 후보를 원래 조건으로 검토한다는 것입니다. 식을 세우기 전의 그림과 계산 후의 제외 조건을 함께 남기세요.

시간 배분과 놓치기 쉬운 조건

첫 풀이에서는 1~10번의 기본형을 차분히 확보하고, 11번 이후 조건 정리가 길어지는 문항은 표시해 두세요. 어려움 구간을 전부 마친 뒤 다음으로 넘어가려 하면 19·20번을 풀 시간이 부족할 수 있습니다. 전체 문항을 훑어 접근 방법이 보이는 문제부터 처리하는 연습이 필요합니다.

15·16번은 서술·단답형이고 17·18번은 객관식이므로 형식이 바뀌는 지점에 주의하세요. 서술·단답형 연습에서는 중심 좌표를 그렇게 둔 이유, 길이가 일정하려면 필요한 조건, 정수 후보를 제외한 근거를 짧게 적어 보세요. 계산과 조건 정리에 걸린 시간을 따로 기록하면 지연되는 단계를 찾기 쉽습니다.

마지막 검토에서는 조건의 종류를 구분하세요. 6번은 모든 실수에서의 성립, 9번은 만남과 만나지 않음의 경계, 11번은 근의 중복, 20번은 정수 조건이 중요합니다. 21번에서는 판별식만 확인하고 끝내지 말고, 22번에서는 삼각형이 되지 않는 점과 중복 후보를 점검하세요.

다음 시험 대비 학습 순서

1. 거리·내분점·직선의 기본 공식을 복습하세요. 사분면 조건을 좌표의 부호로 옮기고 끝점 포함 여부까지 표시하세요(2·5·8번 대비).
2. 원의 표준형과 접선을 익힌 뒤 중심과 직선 사이 거리로 위치 관계를 판단하세요. 축에 접하는 원의 중심도 반지름으로 나타내 보세요(1·3·9·10·19번 대비).
3. 인수분해와 근과 계수의 관계를 정리하세요. 켤레근, 서로 다른 근의 중복 여부, 정수 해의 제한을 구별해 적용하세요(7·11·20번 대비).
4. 부등식은 수직선과 그래프를 함께 사용하세요. 항상 성립하는 조건에서 정수 해의 개수와 근의 분리 조건으로 확장하세요(4·6·12·21번 대비).
5. 복합 도형에서는 좌표 설정과 보조 관계를 먼저 적으세요. 수직, 접선의 길이, 허용되는 자취를 연결한 뒤 계산하세요(13·15·18·22번 대비).
6. 매개변수와 경우 분류 유형을 마무리하세요. 원의 개수는 실근 개수로, 일정한 길이는 근의 합·곱으로, 교점 개수는 그래프로 표현하세요(14·16·17번 대비).