서초고등학교
2022년 1학년 1학기 기말고사

서초고 1학년 1학기 기말 수학(상)은 어떤 시험인가

서초고등학교는 서울 서초구에 있습니다. 이번 자료에서 확인되는 출제 범위는 이차함수, 여러가지방정식, 여러가지부등식, 평면좌표, 직선의방정식, 원의방정식입니다. 대수 영역에서 다룬 판별식과 근의 관계가 좌표도형의 접선과 거리 문제로 이어집니다.

초반에는 그래프와 축의 교점, 연립부등식의 공통 범위, 내분과 외분, 평행과 수직 같은 기본 개념을 확인합니다. 중반부터는 접한다는 조건을 판별식이나 거리로 옮기고, 무게중심과 수직 조건을 결합하는 식으로 풀이 단계가 늘어납니다. 공식을 알고 있는지에 더해 어떤 조건에 적용할지 판단하는 능력이 필요합니다.

후반의 원 문항에서는 그림을 식으로 바꾼 뒤에도 검토가 남습니다. 원과 삼각형의 변이 만나는 상황, 여러 직선에 동시에 접하는 원의 중심, 도형 사이의 최단 거리를 다룹니다. 서술·단답형에는 보통 문항도 있으므로 번호 순서대로 끝까지 풀기보다 전체를 살피며 접근 가능한 문항을 확보하세요.

난이도 분포 — 보통 중심의 구성과 후반 좌표도형

쉬움 문항은 1·2·3·4·6번으로 초반에 모여 있습니다. 판별식의 부호, 연립부등식의 교집합, 분점과 기울기 조건을 정확히 적용하면 풀이 방향을 잡을 수 있습니다. 다만 1번의 만나지 않는 경우와 6번의 접하는 경우까지 허용하는 조건을 같은 부등호로 처리하면 안 됩니다.

보통 문항은 5·7·8·9·10·11·13·15·17·18·19번입니다. 접선 조건을 연속으로 적용하거나 절댓값의 구간을 나누는 문항처럼 기본 개념을 여러 단계로 연결합니다. 자동 분류 기준 보통이라고 해서 검토를 생략할 수는 없으며, 정수 조건이나 경우별 범위가 남는지 확인해야 합니다.

어려움은 12·14·16번에서 등장한 뒤 20·21번으로 이어집니다. 17~19번은 보통이므로 16번에서 막혔다고 서술·단답형 전체를 미룰 필요는 없습니다. 이 분포는 자동 분류 기준이며 실제 응시자의 체감 난도를 확정하지는 않습니다. 연습에서는 계산 시간과 조건을 해석하는 시간을 나누어 살펴보세요.

출제 단원 — 부등식의 비중과 원의 조건 해석

가장 많이 나온 여러가지부등식은 연립이차부등식부터 항상 성립하는 조건, 정수해의 합, 절댓값, 포장 상황의 부등식까지 폭이 넓습니다. 공통적으로 해의 범위를 구한 다음 경계 포함 여부와 정수 조건을 확인해야 합니다. 연산만 반복하기보다 조건 문장을 수직선과 구간으로 옮기는 연습이 필요합니다.

이차함수는 그래프와 방정식의 관계를 중심으로 출제되었습니다. 접한다는 조건은 판별식으로, 교점의 중점은 근의 합으로, 제한된 범위의 최댓값은 축과 끝점의 위치로 연결합니다. 같은 단원이라도 매번 근의 공식을 쓰기보다 필요한 정보가 근 자체인지 합인지 먼저 구분하세요.

원의방정식은 7번의 접선에서 16·20·21번의 복합 조건으로 확장됩니다. 평면좌표의 내분과 거리, 직선의방정식의 수직과 점 사이 거리도 이 영역을 푸는 기반입니다. 원 단원만 따로 암기하기보다 좌표 설정, 중심 결정, 거리 비교를 이어서 연습하는 편이 좋습니다.

문항별 정리

주의 문항 — 분석상 고난도 문항 3개

이 문항들은 자동 분류 기준 어려움에 속하며, 조건을 처리하는 구조를 근거로 고른 분석상 고난도 문항입니다. 공통점은 거리 공식을 적용한 다음에도 대상이 직선인지 선분인지, 후보가 원래 조건을 만족하는지 검토해야 한다는 것입니다. 계산에 들어가기 전에 경계가 바뀌는 위치를 표시하면 경우 누락을 줄일 수 있습니다.

시간 배분과 놓치기 쉬운 조건

첫 풀이에서는 초반 기본형을 안정적으로 처리하고, 12·14·16번에서 그림 해석이 길어지면 표시한 뒤 다음 문항을 살펴보세요. 서술·단답형의 17~19번도 먼저 접근할 수 있는 문항입니다. 마지막 21번이 객관식이라는 구성도 확인해 두고, 객관식이 16번에서 끝난다고 생각해 마지막 문제를 놓치지 않도록 하세요.

절댓값과 정수 조건은 계산 도중에 따로 적어 두세요. 10번에서는 정수해의 합을 만족하는 마지막 정수와 실제 상한을 구분해야 하며, 15·18번은 구간을 나눈 뒤 그 안에서만 풀이가 유효합니다. 19번은 마지막 상자가 비어 있지 않아야 하는 조건과 가득 차도 되는 조건이 서로 다른 부등호로 표현된다는 점을 점검하세요.

마지막 검토에서는 공식을 다시 계산하기보다 적용 대상을 확인하세요. 12번은 기울기가 없는 직선, 14번은 부분 선분과 전체 변의 비, 16·21번은 수선의 발의 위치가 중요합니다. 17번은 축과 양 끝점의 거리, 20번은 중심 후보가 모든 접선 조건을 만족하는지 살펴보세요. 서술형에는 계산뿐 아니라 후보를 제외하거나 선택한 근거도 남겨 두세요.

다음 시험 대비 학습 순서

1. 판별식과 그래프의 위치 관계를 먼저 복습하세요. 만나지 않음, 접함, 모든 실수에서의 부등식 성립을 그림과 부등호로 연결하세요(1·6·8번 대비).
2. 연립부등식을 구간으로 표시하고 정수 조건을 덧붙이세요. 해의 개수뿐 아니라 합이 주어질 때 상한을 어떻게 제한하는지도 연습하세요(2·10·15·19번 대비).
3. 인수분해와 소거를 이용해 방정식의 구조를 정리하세요. 절댓값이 포함되면 구간별 후보를 얻은 뒤 해당 범위와 원래 식을 확인하세요(5·9·18번 대비).
4. 내분·외분과 무게중심을 좌표로 표현하고 길이비와 넓이비를 구별하세요. 분점 공식에 넣는 비의 순서를 그림에서 확인하는 습관을 들이세요(3·11·14번 대비).
5. 직선의 평행·수직과 점에서 직선까지의 거리를 연결하세요. 기울기로 표현되지 않는 직선과 거리의 극값이 나타나는 방향을 함께 검토하세요(4·7·12번 대비).
6. 이차함수의 교점과 구간의 최댓값을 다루세요. 근의 합으로 중점을 해석하고 축에서 각 끝점까지의 거리를 비교하세요(13·17번 대비).
7. 원과 선분의 위치 관계를 마지막에 묶어 연습하세요. 중심 후보, 접선 조건, 수선의 발, 경계에서의 중복을 표시한 그림을 먼저 완성하세요(16·20·21번 대비).