덕수고등학교
2024년 1학년 1학기 기말고사

덕수고 1학년 1학기 기말 수학(상)은 어떤 시험인가

덕수고등학교는 서울 송파구에 있습니다. 자료에서 확인되는 출제 단원은 여러가지방정식, 여러가지부등식, 평면좌표, 직선의방정식, 원의방정식입니다. 대수 영역의 해와 부등식 조건을 다루면서 좌표를 이용한 도형 해석까지 함께 확인하는 시험입니다.

초반에는 거리, 연립방정식의 합과 곱, 절편과 넓이처럼 익숙한 개념을 정확히 적용해야 합니다. 중반에는 정점을 지나는 직선의 거리, 각의 이등분선과 내외분, 접선으로 만들어지는 도형 등 서로 다른 성질을 연결하는 문제가 나옵니다.

후반에는 계산을 시작하기 전 조건의 뜻을 정리하는 과정이 중요합니다. 특히 18번은 대수 조건을 원과 접선의 위치 관계로 바꾸고, 19번은 정수해가 남는 경우를 구분하며, 20번은 넓이 조건을 만족하는 점의 개수를 도형으로 세어야 합니다.

난이도 분포 — 후반에 연속된 어려움 문항

쉬움 문항도 초반에만 있는 것은 아닙니다. 7·9·10·11번처럼 중간에 배치된 기본형을 안정적으로 처리하는 것이 중요합니다. 10번의 부등식은 해가 없는 경우와 한 점만 해가 되는 경우를 구별해야 하므로, 계산이 짧다고 부등호를 가볍게 읽지 마세요.

보통 문항에서는 공식 선택의 이유를 설명할 수 있어야 합니다. 6번은 정점을 먼저 찾아 거리의 상한을 보고, 13번은 각의 이등분선으로 얻은 비를 내분과 외분에 연결합니다. 15번은 교점을 모두 계산하기 전에 접선 사이의 거리로 도형의 변 길이를 파악할 수 있습니다.

16~20번은 자동 분류 기준 어려움 구간입니다. 실근의 존재 확인, 해집합의 겹침, 접선 조건의 경우 분류가 이어집니다. 이 분류가 실제 응시자의 체감 난도와 같다고 단정할 수는 없지만, 후반에서 조건 정리에 시간이 필요하다는 점은 대비에 반영할 만합니다.

출제 단원 — 원의방정식과 좌표 해석

원의방정식은 접선의 기본 원리에서 조건 해석까지 이어집니다. 11번은 반지름과 접선의 수직 관계, 14번은 중심에서 여러 점까지의 같은 거리, 15번은 평행·수직인 접선의 간격을 다룹니다. 이 성질들을 각각 암기하기보다 중심과 반지름을 기준으로 묶어 보세요.

여러가지부등식은 3·10번의 기본 해집합 판단에서 17·19번의 조건 역추적으로 확장됩니다. 특히 해가 존재하지 않는 조건과 정수해의 개수가 제한되는 조건은 풀이 방향이 다릅니다. 먼저 해집합을 구하고, 그다음 교집합이나 남는 정수를 확인하는 순서를 고정하는 것이 좋습니다.

직선의방정식과 평면좌표는 후반 도형 문제를 푸는 바탕입니다. 거리·내외분·절편·수직 조건을 안정적으로 처리해야 원의 문제에서도 계산이 길어지지 않습니다. 여러가지방정식에서는 합과 곱의 활용에 더해 허근의 거듭제곱 주기와 켤레근까지 복습해야 합니다.

문항별 정리

작년 시험과 비교 — 어려움 문항 수는 같고 후반 배치는 달라짐

작년과 올해 모두 수학(상)입니다. 총 문항은 22문항에서 20문항으로 줄었고, 서술·단답형은 2문항으로 같습니다. 자동 분류 기준 쉬움과 어려움의 문항 수는 같고 보통만 줄었습니다. 어려움 문항 수가 늘어난 것은 아니지만 전체에서 차지하는 비중은 커졌습니다.

원의방정식은 작년 7문항에서 올해 5문항으로 줄어도 가장 많은 단원입니다. 여러가지부등식은 6문항에서 4문항으로, 직선의방정식은 2문항에서 4문항으로 바뀌었습니다. 평면좌표는 4문항으로 같고, 여러가지방정식은 2문항에서 3문항으로 늘었습니다. 작년의 도형의이동은 올해 단원 목록에 없습니다.

작년 자동 분류 기준 어려움은 16·17·18·19·22번이고 올해는 16~20번입니다. 작년 서술·단답형 21번은 보통이었지만 올해 19·20번은 모두 어려움입니다. 따라서 원의 단원을 중심으로 공부하면서도 직선의 기본형과 부등식의 경우 분류를 함께 익히고, 서술·단답형을 미리 살펴보는 연습이 필요합니다.

주의 문항 — 분석상 고난도 문항 3개

이 문항들은 이용자 투표로 확인된 난도 순위가 아니라 풀이 구조를 근거로 고른 분석상 고난도 문항입니다. 공통점은 원래 조건을 그림이나 후보 목록으로 바꾼 다음 경우를 빠짐없이 검사한다는 것입니다. 계산 결과보다 먼저 분류 기준이 명확한지 확인하세요.

시간 배분과 놓치기 쉬운 조건

첫 풀이에서는 기본형과 접근법이 보이는 문항을 먼저 처리하세요. 4~6번에서 생각이 길어져도 7번 이후의 기본 문항을 계속 확인할 필요가 있습니다. 16번부터 자동 분류 기준 어려움이 이어지므로, 앞부분을 푼 뒤에는 남은 시간과 서술·단답형의 접근 가능성을 함께 점검하세요.

서술·단답형은 긴 계산을 쓰기 전에 풀이 틀을 잡으세요. 19번은 절댓값 조건의 정수 후보와 다른 부등식의 제외 조건을 나란히 적고, 20번은 현의 길이와 높이 조건을 분리해 적으면 좋습니다. 연습할 때는 식을 세우는 데 걸리는 시간과 계산 시간을 구별해 기록하면 보완할 지점이 드러납니다.

마지막 검토에서는 계산보다 경계와 예외를 확인하세요. 4번의 일치하는 직선 제외, 7번의 절편과 길이의 부호 구별, 16번의 실근 존재, 17번의 등호 포함 여부가 중요합니다. 18·20번에서는 접하는 경우를 빠뜨리지 않았는지, 19번에서는 정수 후보가 중복되거나 누락되지 않았는지 다시 보세요.

다음 시험 대비 학습 순서

1. 거리·내분점·무게중심 공식을 좌표 그림과 함께 복습하세요. 내분과 외분에서 비를 대응시키는 순서를 설명해 보세요(1·8·9·13번 대비).
2. 직선의 평행·수직·절편 조건을 정리하고 점과 직선 사이의 거리를 연결하세요. 정점을 지나는 직선은 거리의 상한과 그 값에 도달하는 배치를 먼저 찾으세요(4·5·6·7번 대비).
3. 연립방정식의 합과 곱에서 시작해 허근의 거듭제곱 주기와 켤레근을 연습하세요. 인수 구성 뒤 남은 근이 실제로 실수인지도 확인하세요(2·12·16번 대비).
4. 절댓값의 부호 기준으로 구간을 나누고 이차부등식의 해집합을 수직선에 표시하세요. 해가 없거나 겹치지 않는 경계의 등호를 점검하세요(3·10·17번 대비).
5. 원의 중심과 반지름을 먼저 표시한 뒤 접선·거리·현의 길이를 연결하세요. 대수 조건을 접하거나 지나는 그림으로 바꾸는 연습을 더하세요(11·14·15·18번 대비).
6. 정수 후보를 표로 관리하는 유형과 넓이를 높이 조건으로 바꾸어 점의 개수를 세는 유형을 서술형으로 연습하세요. 경우를 나눈 이유와 경계에서의 변화를 문장으로 적으세요(19·20번 대비).