잠실고등학교
2022년 1학년 2학기 기말고사

잠실고 고1 2학기 기말 수학(하)는 어떤 시험인가

잠실고등학교는 서울 송파구에 있습니다. 이번 시험은 함수의 기본 성질, 합성함수와 역함수, 유리함수, 무리함수, 순열조합을 다룹니다. 객관식에서는 개념 판단과 조건 해석을 함께 확인하고, 서술·단답형에서는 도형의 넓이, 문자 배열, 합성 조건에 따른 함수 추론으로 범위를 넓힙니다.

함수 영역에서는 식을 계산하기 전에 그래프의 구조를 파악하는 과정이 중요합니다. 점근선과 평행이동을 읽는 기본 문항에서 출발해 역함수와의 관계, 직선과 점근선이 만드는 도형으로 이어집니다. 무리함수도 시작점과 증가·감소를 읽어 정의역과 최댓값·최솟값을 연결해야 합니다.

순열조합은 단순한 배열 공식만으로 끝나지 않습니다. 대표를 뽑는 조건, 함숫값의 순서, 배수 판정, 도형의 색칠 조건에 따라 세는 대상을 먼저 정해야 합니다. 따라서 공식을 많이 외우는 것과 별개로, 각 풀이에서 무엇을 선택하고 무엇을 배열하는지 설명하는 연습이 필요합니다.

난이도 분포 — 기본 확인 뒤 후반부 조건 연결

난이도는 자동 분류 기준입니다. 쉬움 구간에는 일대일함수 판정, 약수의 개수, 유리함수의 성질, 무리함수의 최대·최소, 이웃하지 않는 배열, 같은 함수의 판단이 포함됩니다. 모두 앞부분에만 몰려 있지는 않으므로, 중간에서 막혀도 뒤의 기본 문항을 확인하며 진행하는 편이 좋습니다.

보통 구간에서는 개념을 적용하기 전의 해석이 한 단계 필요합니다. 8번은 역함수 그래프에서 필요한 정보를 복원하고, 11번은 순서 조건으로 배열의 자유가 사라지는 점을 읽어야 합니다. 16번은 반복 합성을 끝까지 계산하기보다 값의 이동과 주기를 찾아야 효율적입니다.

자동 분류 기준 어려움 구간은 후반부에 모이지만, 그 사이의 14·16·19번은 보통으로 분류되어 있습니다. 번호가 뒤라는 이유로 모두 미루지 말고 자신이 바로 접근할 수 있는 유형을 골라 해결하세요. 특히 서술·단답형에서도 19번의 배열 조건을 먼저 정리해 두면 풀이할 기회를 확보할 수 있습니다.

출제 단원 — 순열조합의 비중과 함수의 연결

순열조합은 출제량이 가장 많고 문제의 표현도 다양합니다. 2번의 곱의 법칙에서 6번의 조건별 조합, 9번의 틈을 이용한 배열로 기본기를 확인합니다. 이어 11번은 함수 조건을 선택 문제로, 13번은 배수 조건을 숫자 선택과 배열로 바꿉니다. 같은 단원 안에서도 상황을 식으로 옮기는 방법을 구분해야 합니다.

유리함수는 기본 성질을 복합 문제까지 연결하는 흐름입니다. 3·5·12번에서 점근선과 평행이동, 구간에서의 변화, 이동 전후에 유지되는 성질을 익힌 뒤 17·18번에서 역함수나 도형과 결합합니다. 기본형으로 고쳐 읽는 연습이 후반부 접근에도 직접 도움이 됩니다.

무리함수와 함수의 기본 개념은 비교적 짧게 확인할 수 있는 영역이지만, 부호와 정의역을 대충 읽으면 실수가 생깁니다. 합성함수와역함수에서는 그래프 대칭, 반복 합성, 일대일대응이 서로 다른 방식으로 등장합니다. 역함수 식을 구하는 연습뿐 아니라 대응 관계를 표와 화살표로 표현하는 연습도 해 두세요.

문항별 정리

주의 문항 — 분석상 고난도 문항 3개

이 문항들은 자동 분류 기준 어려움에 속하며, 여기서는 분석상 고난도 문항으로 살펴보았습니다. 공통점은 앞 단계에서 만든 구조가 다음 계산의 전제가 된다는 점입니다. 식을 길게 전개하기 전에 영역 그림, 길이 관계, 대응표처럼 조건을 한눈에 볼 수 있는 표현부터 마련하세요.

시간 배분과 놓치기 쉬운 조건

처음 풀이에서는 1·2·3·7·9·10번에서 기본 개념을 정확하게 확인하고, 보통 문항은 풀이 방향이 보이는 것부터 진행하세요. 13번 이후에도 접근 가능한 문항이 섞여 있으므로 특정 문항에 머물러 전체 확인을 늦추지 않는 편이 좋습니다. 막힌 문항에는 필요한 조건과 시도한 방법을 짧게 남겨 재검토 시간을 줄이세요.

서술·단답형은 계산할 시간과 풀이를 정리할 시간을 함께 남겨야 합니다. 18번은 넓이를 표현하는 과정, 19번은 경우를 나누거나 제외하는 기준, 20번은 후보를 배제하는 이유를 먼저 적어 두세요. 시험 시간이 자료에 제시되어 있지 않으므로 연습할 때 각 단계의 소요 시간을 기록해 자신의 운영 기준을 정하는 것이 좋습니다.

조건 점검에서는 함수의 정의역과 치역, 무리식의 유효 범위, 구간 끝점 포함 여부를 우선 확인하세요. 경우의 수에서는 숫자나 문자의 재사용 가능 여부, 순서를 구별하는지, 인접과 간격의 의미를 구분해야 합니다. 마지막 검토에서는 18번의 양수 조건과 등호 성립, 20번의 출력 중복 여부처럼 풀이의 타당성을 좌우하는 부분을 다시 보세요.

다음 시험 대비 학습 순서

1. 함수의 기본 조건부터 정리하세요. 일대일성은 수평선으로, 함수의 같음은 정의역과 각 출력의 비교로 설명하는 연습을 합니다(1·10번 대비).
2. 유리함수와 무리함수의 그래프를 손으로 그리세요. 점근선·시작점·이동 방향을 표시한 뒤 구간의 최대·최소를 판단합니다(3·4·5·7·12번 대비).
3. 선택과 배열을 구분하는 경우의 수를 익히세요. 곱의 법칙, 조건별 조합, 틈에 넣기, 순서가 고정되는 선택을 서로 비교합니다(2·6·9·11번 대비).
4. 복합 조건의 경우의 수로 확장하세요. 배수 조건은 숫자 선택과 끝자리로, 색칠은 도형의 영역과 색 배치로 나눠 정리합니다(13·15·19번 대비).
5. 역함수와 반복 합성을 그림으로 표현하세요. 좌표 교환, 구간별 대응, 반복의 시작점과 주기를 확인한 뒤 식으로 옮깁니다(8·14·16·17번 대비).
6. 서술·단답형은 근거까지 적으며 마무리하세요. 넓이를 부등식으로 연결하는 풀이와 일대일성을 이용해 대응 후보를 지우는 풀이를 시간 제한을 두고 연습합니다(18·20번 대비).