야탑고등학교
2022년 1학년 1학기 중간고사

야탑고 1학년 1학기 중간 수학(상)은 어떤 시험인가

야탑고등학교는 경기 성남시에 있습니다. 이 자료에서 확인되는 출제 단원은 다항식, 항등식, 복소수, 이차방정식, 이차함수, 여러가지방정식입니다. 공식의 변형에서 시작해 방정식의 근과 함수의 그래프를 해석하는 내용으로 이어집니다.

곱셈공식을 아는 것과 필요한 형태로 식을 바꾸는 것은 구분해서 연습해야 합니다. 4·6번은 합과 곱을 활용해 전개를 줄일 수 있고, 18번은 공통부분을 묶어 인수분해 과정을 설명해야 합니다. 전개가 길어질 때는 주어진 정보로 표현할 수 있는 대칭적인 구조가 있는지 먼저 살펴보세요.

방정식에서는 해를 구하는 계산뿐 아니라 해가 가져야 할 성질을 확인합니다. 삼각형의 변 조건을 판별식의 부호로 바꾸는 3번, 자연수 근을 제한하는 15번, 상자의 길이 조건을 적용하는 21번이 그 예입니다. 계산으로 후보를 얻은 뒤 원래 조건으로 돌아오는 절차가 중요합니다.

난이도 분포 — 보통 문항 사이에 나뉜 어려움

자동 분류 기준 쉬움 문항은 4·5·11·12번입니다. 공식 변형, 판별식, 주어진 근의 대입, 그래프의 접함 조건처럼 출발 방법이 비교적 분명합니다. 이 구간에서는 부등호의 등호 포함 여부와 근과 계수의 관계에서 생기는 부호를 정확히 처리해 시간을 확보하세요.

보통 문항은 시험 전반에 분포하며 서술·단답형의 18·20·21번도 포함합니다. 특히 13번은 절댓값 그래프의 교점, 20번은 상반방정식의 치환을 다루므로 자동 분류 기준 보통이라는 이유로 풀이가 짧을 것이라 예상해서는 안 됩니다. 개념을 적용할 형태를 찾는 연습이 필요합니다.

어려움은 8·15·19번입니다. 각각 허근과 켤레근, 자연수 조건, 몫과 나머지의 일치라는 정보가 여러 단계로 연결됩니다. 실제 응시자의 체감 난도와 자동 분류가 같다고 단정할 수는 없지만, 이 문항들에는 조건을 정리하고 후보를 검증할 여유를 남겨 두는 편이 좋습니다.

출제 단원 — 이차방정식에서 고차방정식으로 이어지는 구조

이차방정식은 3·5·7·8·10·11번으로 가장 큰 비중을 차지합니다. 판별식만 따로 외우기보다 근의 존재, 근의 부호, 두 근의 차, 켤레근의 관계와 연결해야 합니다. 10번처럼 두 근의 부호를 판단한 뒤 음수의 제곱근을 다루는 문제는 복소수 개념도 함께 요구합니다.

여러가지방정식은 15·16·17·20·21번입니다. 삼차식의 인수분해, 허근의 성질, 연립방정식의 소거, 상반방정식의 치환, 부피의 식 세우기가 포함됩니다. 고차식이라는 이유로 전개부터 시작하기보다 공통인수와 대칭적인 계수 배열을 먼저 확인하세요.

항등식은 수치 대입과 나머지 조건으로, 이차함수는 접함·교점·제한된 범위의 최대최소로 구별해 복습하면 좋습니다. 복소수로 분류된 것은 9번이지만 켤레근과 허근은 8·16번에도 연결됩니다. 단원 표의 비중만 보고 복소수 학습을 짧게 끝내지 마세요.

문항별 정리

주의 문항 — 분석상 고난도 문항 3개

이 문항들은 자동 분류 기준 어려움에 해당하며, 이용자 투표로 확인한 난도 순위가 아닌 분석상 고난도 문항입니다. 공통점은 식을 계산하기 전에 조건으로 형태를 제한해야 한다는 것입니다. 풀이를 복습할 때는 계산 결과보다 처음에 사용한 조건과 마지막에 다시 확인한 조건을 구별해 적어 보세요.

시간 배분과 놓치기 쉬운 조건

첫 풀이에서는 출발 방법이 분명한 문항을 먼저 해결하세요. 8번에서 켤레근 관계가 바로 보이지 않으면 표시하고 다음 문항을 확인할 수 있습니다. 15번에서도 자연수 후보를 찾는 데 오래 머무르기보다, 16·17번과 서술·단답형까지 훑어 접근 가능한 문항을 확보하는 연습을 권합니다.

서술·단답형을 마지막에 몰아서 시작하지 마세요. 18번은 치환과 인수분해의 연결, 20번은 나눌 수 있는 이유와 역치환, 21번은 길이의 허용 범위를 짧게 적어 두면 풀이의 뼈대가 잡힙니다. 19번은 몫과 나머지의 차수를 정하는 데 시간이 필요하므로, 연습 중에는 조건 해석과 계산에 걸린 시간을 나누어 기록하세요.

검토는 조건 누락을 중심으로 진행하세요. 5번은 중근을 포함하는 경계, 10번은 음수의 제곱근 곱의 부호, 13번은 접점의 구간과 교점의 중복이 중요합니다. 14번은 꼭짓점이 허용 범위 안에 있는지, 21번은 얻은 근이 실제 길이 조건을 만족하는지 다시 확인하세요.

다음 시험 대비 학습 순서

1. 곱셈공식을 합과 곱의 관계로 바꾸는 연습부터 하세요. 목표 식을 보고 필요한 대칭식을 고른 뒤, 공통부분 치환을 이용한 인수분해까지 설명해 보세요(4·6·18번 대비).
2. 항등식의 수치 대입과 나눗셈 등식을 구별해 연습하세요. 나머지의 차수를 먼저 적고, 연속된 나눗셈이나 몫과 나머지의 일치 조건으로 확장하세요(1·2·19번 대비).
3. 판별식과 근과 계수의 관계를 함께 정리하세요. 실근 여부, 두 근의 차, 근의 부호를 어떤 정보로 판단하는지 짧은 근거를 붙여 보세요(3·5·7·10·11번 대비).
4. 켤레복소수의 성질을 실수 조건과 연결하세요. 거듭제곱을 직접 전개하기 전에 근이 만족하는 관계식으로 차수를 낮추는 방법을 연습하세요(8·9·16번 대비).
5. 그래프를 먼저 그린 뒤 식을 세우는 연습을 하세요. 접함, 절댓값으로 접히는 구간, 제한된 범위의 축과 끝점을 구별하세요(12·13·14번 대비).
6. 고차방정식은 인수분해와 치환을 선택하는 순서로 복습하세요. 자연수 근의 제한, 연립식의 소거, 역치환, 부피에서의 허용 범위를 풀이 끝까지 확인하세요(15·17·20·21번 대비).