덕수고등학교
2024년 1학년 2학기 기말고사

덕수고 1학년 2학기 기말 수학(하)는 어떤 시험인가

덕수고등학교는 서울 송파구에 있습니다. 이번 자료에서 확인되는 출제 범위는 함수, 합성함수와 역함수, 유리함수, 무리함수, 순열과 조합입니다. 대응 관계의 기본 개념과 식의 계산을 확인한 뒤 그래프와 경우의 수의 복합 조건으로 이어지는 구성입니다.

초반에는 정의역·공역·치역 구별, 일대일함수 판정, 부분분수와 유리화처럼 출발 방법이 비교적 뚜렷한 문제가 놓여 있습니다. 중반에는 합성 순서와 역함수의 대응, 대칭축과 점근선, 순서가 있는 선택을 해석해야 합니다. 개념을 알고 있어도 기호를 적용하는 방향을 바꾸면 실수가 생길 수 있습니다.

후반에는 무리함수와 선분의 교점, 대칭을 이용한 넓이, 색칠의 제한 조건, 방향을 바꾸는 경로가 등장합니다. 같은 단원의 기본 문제를 반복하는 것만으로는 부족하며, 주어진 조건을 그림이나 대응표, 경우 분류로 옮기는 연습이 필요합니다. 서술·단답형도 마지막에 따로 살펴볼 시간을 확보하세요.

난이도 분포 — 초반 기본형과 후반 조건 해석의 구분

자동 분류 기준 쉬움에 해당하는 1~7번은 기본 개념과 계산 방법을 확인하는 구간입니다. 다만 2번의 경유 조건이나 7번의 감소 방향처럼 짧은 문제에도 확인할 조건이 있습니다. 익숙한 식이라는 이유로 바로 대입하기보다 무엇을 세고 어느 끝점을 택하는지 먼저 판단하세요.

보통 문항에서는 여러 단계를 순서대로 처리하는 능력이 필요합니다. 8·12·14번은 함수의 합성과 역대응을 따라가야 하며, 10·11번은 대상을 고르는 과정과 배열하는 과정을 구별해야 합니다. 13번에서 막히더라도 보통으로 분류된 14·15번을 확인하고 넘어갈 수 있도록 운영하세요.

16~20번에는 자동 분류 기준 어려움 문항이 이어집니다. 그래프를 연립한 뒤 범위로 후보를 거르거나, 전체 경우에서 금지된 경우를 제외하는 추가 판단이 필요합니다. 이 분류는 실제 응시자의 체감 난도를 확정하는 자료가 아니며, 분석상으로는 조건을 정리하는 시간이 후반의 주요 부담입니다.

출제 단원 — 순열조합의 비중과 함수 조건의 연결

순열조합은 최단경로, 기호와 성질, 자연수의 배열 순서, 관광 일정, 색칠 조건까지 폭넓게 출제되었습니다. 공식을 고르기 전에 순서가 구별되는지, 특정 대상이 반드시 포함되는지, 나눈 경우가 서로 겹치는지를 따져야 합니다. 특히 18·20번은 조건에 맞는 분류 체계를 세우는 일이 계산보다 앞섭니다.

함수 영역은 정의역과 치역에서 출발해 합성, 역함수, 그래프의 대칭과 이동으로 연결됩니다. 13번은 합성 결과가 상수라는 조건을 치역 원소의 대응 제한으로 해석해야 하므로, 단순히 가능한 함숫값을 독립적으로 고르는 방식으로 접근하기 어렵습니다. 그래프 문제에서도 식과 그림을 서로 바꾸어 읽는 연습이 필요합니다.

표의 단원은 등록된 분류를 그대로 따릅니다. 19번은 유리함수로 분류되어 있지만 제공된 해설에는 무리함수의 식 복원과 역함수, 교점 판단이 포함되어 있습니다. 따라서 유리함수 분류만 보고 대비 범위를 좁히지 말고, 실제 풀이에 등장하는 무리함수의 정의역과 역함수의 대응도 함께 복습하세요.

문항별 정리

작년 시험과 비교 — 같은 과목에서 달라진 난이도 배치

작년과 올해는 모두 수학(하)입니다. 자동 분류 기준으로 올해는 쉬움이 늘고 보통과 어려움은 줄었습니다. 다만 이 변화만으로 실제 응시자의 성적이나 체감 난도를 판단할 수는 없습니다. 올해는 초반 기본형을 안정적으로 처리하고 후반에 시간을 남기는 전략이 분포와 잘 맞습니다.

작년에는 합성함수와역함수가 가장 많았고 올해는 순열조합이 가장 많습니다. 순열조합의 문항 수는 같지만 합성함수와역함수는 줄고 함수와 무리함수는 늘었습니다. 단원별 문항 수는 등록 분류 기준이므로, 올해 19번처럼 실제 해설에서 여러 함수 개념이 연결되는 점까지 살펴야 합니다.

작년의 어려움은 6·10번부터 나타났지만 올해는 13번에서 시작해 16~20번에 이어집니다. 서술·단답형은 작년에 보통과 어려움이 함께 있었고 올해는 모두 어려움으로 분류됩니다. 다음 시험 대비에서는 초반 계산의 정확도를 확보한 뒤 그래프의 범위 검토와 조건부 경우의 수를 끝까지 설명하는 연습을 이어가세요.

주의 문항 — 분석상 고난도 문항 3개

이 문항들은 자동 분류 기준 어려움 중 조건 해석의 특징이 뚜렷한 분석상 고난도 문항으로 골랐습니다. 공통점은 원래 표현을 그대로 계산하기보다 대응 제한, 허용 구간, 이동 묶음으로 다시 나타내야 한다는 것입니다. 풀이 첫 줄에 이 구조를 적는 연습을 해 보세요.

시간 배분과 놓치기 쉬운 조건

첫 풀이에서는 1~7번의 개념 확인과 기본 계산을 정확하게 처리하세요. 13번의 함수 개수에서 분류가 정리되지 않으면 표시하고 14·15번을 먼저 확인하는 편이 좋습니다. 후반의 그래프 문제에 오래 머무르기 전에 서술·단답형의 요구를 훑어 출발할 수 있는 단계부터 적어 두세요.

그래프 검토에서는 허용 범위를 식 옆에 남기세요. 7번은 감소 방향과 구간의 끝점, 12·14번은 합성과 역대응의 적용 순서, 16·19번은 제곱 전 부호와 정의역이 중요합니다. 17번의 넓이는 대칭으로 옮긴 영역이 어디에 대응하는지 그림에 표시하면 중복과 누락을 줄일 수 있습니다.

경우의 수 검토에서는 무엇을 한 경우로 세었는지 다시 읽으세요. 10번의 첫 자리 제한과 배열 방향, 11번의 날짜별 방문 조건, 18번의 같은 색 넓이 합을 각각 확인해야 합니다. 20번은 이동 횟수와 방향 전환 횟수를 구별하고, 각 방향의 묶음에 이동이 빠짐없이 배분되었는지 살펴보세요.

다음 시험 대비 학습 순서

1. 정의역·공역·치역과 일대일 조건을 대응 그림으로 설명하세요. 기본 정의에서 합성 조건이 치역에 주는 제한까지 연결하세요(1·5·13번 대비).
2. 부분분수와 유리화를 복습하고 계산 전 분모와 근호의 조건을 적으세요. 무리함수의 증가·감소와 끝점 판단도 함께 연습하세요(4·6·7번 대비).
3. 합성과 역함수는 입력에서 출력으로 가는 화살표로 정리하세요. 그래프와 자릿수 이동에서도 같은 방식으로 적용 순서를 추적하세요(8·12·14번 대비).
4. 유리함수의 대칭축, 점근선, 평행이동을 한 그림에 표시하세요. 자기 자신이 역함수인 조건을 그래프의 대칭과 연결하세요(9·15번 대비).
5. 무리함수와 직선의 교점은 제곱 전 부호와 선분 범위를 함께 검사하세요. 역함수의 정의역과 대칭을 이용한 넓이까지 확장하세요(16·17·19번 대비).
6. 순열과 조합의 의미를 설명한 뒤 배열 순서, 날짜별 분류, 색칠의 여사건을 연습하세요. 경로는 이동 방향의 묶음으로 나타내 보세요(2·3·10·11·18·20번 대비).