영동고등학교
2025년 2학년 2학기 중간고사

영동고 2학년 2학기 중간 수학II는 어떤 시험인가

영동고등학교는 서울 강남구에 있습니다. 이 회차에서 확인되는 출제 범위는 함수의 극한과 연속, 미분계수와 도함수, 접선 관계입니다. 유리식의 극한 계산뿐 아니라 그래프를 읽고 연속이나 미분가능 조건을 세우는 문제까지 포함되어 있습니다.

같은 극한이라도 접근 방식이 다릅니다. 그래프의 좌우 접근 방향을 읽는 문제, 부등식으로 극한을 제한하는 문제, 무한대에서의 차수로 다항식의 형태를 정하는 문제가 함께 나옵니다. 식을 보자마자 계산하기보다 어떤 조건이 함수의 형태를 제한하는지 먼저 찾으세요.

후반에서는 개념을 연결하는 단계가 길어집니다. 극한에서 얻은 함수의 값과 도함숫값으로 다항식을 정하거나, 교점 개수를 나타내는 함수의 불연속을 원래 그래프와 연결합니다. 계산을 끝낸 뒤에도 경계의 함숫값과 정의역을 다시 검사해야 풀이가 완성됩니다.

난이도 분포 — 후반의 조건 해석과 서술·단답형 구분

자동 분류 기준 쉬움에 속하는 1·3·17번은 각각 미분 공식, 사잇값의 정리, 인수분해를 통한 극한 계산을 다룹니다. 기본형에서 식 정리와 부호 판단을 정확히 해 두어야 후반 문제를 검토할 여유를 확보할 수 있습니다.

보통 구간도 단순 대입만으로 끝나지는 않습니다. 8·10번은 극한 조건으로 다항식의 차수를 판단하고, 9번은 분모가 사라지는 지점의 정의 여부를 따지며, 11번은 좌우 미분계수를 비교합니다. 서로 비슷해 보이는 연속과 미분가능 조건을 구별하는 연습이 필요합니다.

12~16번은 자동 분류 기준 어려움이 이어지는 구간입니다. 반면 서술·단답형의 17번은 쉬움, 18번은 보통이므로 번호순으로만 풀 필요는 없습니다. 19~21번에서는 극한의 해석, 계수 결정, 연속 조건 검사가 연결되어 풀이를 단계별로 기록하는 능력이 중요합니다.

출제 단원 — 극한과 연속을 중심으로 미분까지 연결

가장 많은 함수의극한은 기본 계산에서 다항식 결정, 극한이 존재하지 않는 지점의 분류, 도형에서 얻은 식의 무한대 극한까지 폭이 넓습니다. 14번은 분모의 근과 약분 가능성을 구별해야 하고, 16번은 접선과 닮음으로 길이를 표현한 뒤 식의 차수를 읽어야 합니다.

함수의연속에서는 경계에서 좌극한·우극한·함숫값을 맞추는 기본형과 교점 개수를 함수로 해석하는 유형이 함께 나옵니다. 특히 13·15·21번은 원래 그래프와 개수를 나타내는 함수가 서로 다른 대상임을 구별해야 합니다. 그래프의 모양만 보고 연속 여부를 바로 판단하면 조건을 놓치기 쉽습니다.

미분계수와도함수의 12·19·20번은 극한을 미분계수의 정의에 맞게 변형하는 능력을 요구합니다. 분자에서 어떤 함수의 값을 빼야 하는지, 입력의 이동과 분모의 증분이 일치하는지 확인하세요. 도함수의활용은 6번이지만, 접선 기울기를 직선의 수직 조건과 연결하는 기본기를 점검할 수 있습니다.

문항별 정리

작년 시험과 비교 — 연속 단원과 서술·단답형의 변화

작년과 올해 모두 수학II이며 총 문항 수는 같습니다. 자동 분류 기준 어려움은 6문항에서 8문항으로, 쉬움은 1문항에서 3문항으로 늘었습니다. 보통이 줄어든 분포이므로 시험 전체를 한마디로 평가하기보다 기본 문항 확보와 후반 조건 해석을 나누어 준비하는 것이 좋습니다.

함수의극한은 8문항, 미분계수와도함수는 5문항으로 같습니다. 함수의연속은 3문항에서 7문항으로 늘고 도함수의활용은 5문항에서 1문항으로 줄었습니다. 이번 회차를 대비 자료로 활용한다면 연속 조건과 교점 개수 해석을 충분히 연습하되, 이 변화만으로 다음 시험의 비중을 단정하지는 마세요.

작년의 자동 분류 기준 어려움은 13~16번과 20·21번, 올해는 12~16번과 19~21번입니다. 서술·단답형은 작년 17~19번에서 올해 17~20번으로 달라졌고, 올해는 19·20번이 어려움에 포함됩니다. 형식만 보고 풀이 시간을 정하기보다 미분계수 해석과 연속 조건을 연결해 서술하는 연습이 필요합니다.

주의 문항 — 분석상 고난도 문항 3개

이 문항들은 자동 분류 기준 어려움에 속하며, 해설에서 확인되는 조건 처리 구조를 바탕으로 고른 분석상 고난도 문항입니다. 이용자 투표로 확인한 난도 순위는 아닙니다. 공통적으로 후보를 얻는 과정과 후보가 실제 조건을 만족하는지 검사하는 과정을 나누어야 합니다.

시간 배분과 놓치기 쉬운 조건

첫 풀이에서는 접근법이 바로 보이는 기본형을 먼저 처리하세요. 12~16번에서 경우 분류나 도형 관계가 길어지면 표시하고 17·18번을 확인하는 운영을 연습해 보세요. 21번은 객관식이지만 뒤에 놓인 고난도 문항이므로, 서술·단답형을 마쳤다고 검토 시간을 모두 쓰지 않도록 주의하세요.

19·20번에서는 계산 전에 극한이 뜻하는 함수의 값과 미분계수를 따로 적으세요. 입력이 반대 방향으로 움직이면 부호를 확인하고, 대칭적인 증분에서는 분모가 실제 증분과 같은지 살펴야 합니다. 필요한 조건을 모두 추출한 뒤 계수를 정하면 중간 계산을 반복하는 일을 줄일 수 있습니다.

마지막 검토는 정의역과 경계에 집중하세요. 9번은 원래 분모의 영점, 11번은 좌우 미분계수, 14번은 약분과 중복을 확인해야 합니다. 13·15·21번은 경계 높이에서 교점 개수가 주변과 다를 수 있으므로, 열린 구간의 개수만 적고 끝내지 마세요.

다음 시험 대비 학습 순서

1. 인수분해와 유리화로 기본 극한 계산을 안정시키세요. 연속 조건을 쓰기 전에 극한을 정리하는 절차를 익히세요(17·18번 대비).
2. 그래프의 좌우 접근과 부등식의 극한을 정리하세요. 입력이 이동했을 때 접근 방향을 말로 설명해 보세요(2·4·5번 대비).
3. 무한대 극한에서 차수와 최고차항을 읽고 다항식의 형태를 결정하세요. 유한한 점의 조건을 연결해 계수를 정하세요(8·10번 대비).
4. 정의역, 연속, 미분가능의 조건을 구별하세요. 경계의 함숫값과 좌우극한, 좌우 미분계수를 각각 기록하세요(7·9·11번 대비).
5. 극한을 미분계수의 정의로 바꾸는 연습을 하세요. 입력 이동, 부호, 배수를 표시한 뒤 곱의 미분법과 계수 결정을 연결하세요(12·19·20번 대비).
6. 그래프의 교점 개수를 구간과 경계로 나누어 표로 정리하세요. 분모의 근과 약분, 교점의 중복, 변화의 상쇄를 따로 검사하세요(13·14·15·21번 대비).
7. 도형에서는 접선 길이와 닮음으로 필요한 길이부터 표현하세요. 식을 얻은 다음 통분과 차수 비교로 극한을 처리하세요(6·16번 대비).