서초고등학교
2023년 2학년 2학기 중간고사

서초고 2학년 2학기 중간 수학II는 어떤 시험인가

서초고등학교는 서울 서초구에 있습니다. 자료에서 확인되는 범위는 함수의극한, 함수의연속, 미분계수와도함수입니다. 그래프에서 극한을 읽는 기본형부터 연속 조건으로 다항식의 구조를 제한하는 유형까지 출제되어 있습니다.

개별 공식의 적용과 개념의 연결을 함께 묻습니다. 평균변화율과 곱의 미분법을 바로 쓰는 문항도 있지만, 거리 조건을 차분몫으로 바꾸거나 나눗셈 항등식을 미분해야 하는 문항도 있습니다. 익숙한 식이 보이지 않을 때 정의로 돌아가는 연습이 필요합니다.

서술·단답형의 요구도 서로 다릅니다. 25번은 도형의 넓이를 식으로 세우고, 26번은 조건을 만족하는 함수를 구성하며, 27번은 정리를 정확히 서술합니다. 계산 결과뿐 아니라 식을 세운 근거와 정리의 전제를 말로 설명할 수 있어야 합니다.

난이도 분포 — 후반에 이어지는 조건 해석

초반의 1~4번은 자동 분류 기준 쉬움입니다. 그래프의 좌극한, 평균변화율, 극한의 대소 관계, 연속성의 기본 판단을 확인합니다. 이 구간에서 정의를 정확히 적용하고 불필요한 전개를 줄이면 뒤의 조건 해석에 사용할 시간을 확보할 수 있습니다.

6·9번은 앞부분에 있지만 어려움으로 분류됩니다. 반대로 8·10·11번은 쉬움이고 12번은 보통입니다. 앞에서 막힌 문항 하나에 오래 머무르기보다 뒤의 기본형을 확인하세요. 자동 분류 기준은 풀이 순서를 정하는 참고 자료이며 실제 체감 난도를 확정하는 수치는 아닙니다.

19~26번은 자동 분류 기준 어려움이 이어집니다. 원의 접촉, 함수의 연속성, 도형 넓이, 함수 구성처럼 출발 방식이 달라지는 구간입니다. 27번의 정리 서술을 따로 확보하고 28번의 복합 극한 조건에 돌아오는 식으로 전체 문항을 살펴볼 필요가 있습니다.

출제 단원 — 연속성과 미분 개념의 연결

미분계수와도함수는 평균변화율, 미분가능성, 곱의 미분법, 미분계수의 기하적 의미를 다룹니다. 6·9번은 항등식을 미분과 연결하고, 13번은 거리 관계로 차분몫을 만듭니다. 공식을 외우는 데서 그치지 말고 어떤 식을 미분해야 하는지 판단하는 연습이 필요합니다.

함수의연속은 그래프 판단에서 합성함수와 곱의 연속성으로 확장됩니다. 14·22번은 합성한 뒤의 함숫값을 확인해야 하며, 16·19번은 개수를 나타내는 함수의 값이 바뀌는 지점을 찾습니다. 원래 함수가 불연속이라는 사실만으로 새 함수의 연속성을 단정하지 마세요.

함수의극한은 단순한 대입만으로 끝나지 않습니다. 17번의 유리화, 23·25번의 도형 관계, 26번의 함수 구성, 28번의 극한 존재 조건으로 접근이 달라집니다. 도형에서 식을 만드는 단계와 만든 식의 극한을 계산하는 단계를 나누어 복습하세요.

문항별 정리

주의 문항 — 분석상 고난도 문항 3개

이 문항들은 풀이 구조를 근거로 선정한 분석상 고난도 문항이며 이용자 투표로 확정된 순위는 아닙니다. 공통점은 후보를 만드는 계산 뒤에 조건 검증이 남는다는 점입니다. 범위, 정의역, 예외를 적어 두고 마지막에 되돌아가 확인하세요.

시간 배분과 놓치기 쉬운 조건

첫 풀이에서는 평균변화율이나 곱의 미분처럼 출발점이 바로 보이는 문항부터 처리하세요. 6·9번에서 항등식을 바꾸는 방법이 떠오르지 않으면 표시하고 다음 문항으로 넘어가세요. 서술·단답형을 무조건 마지막에 두기보다 27번의 정리 서술처럼 먼저 완성할 수 있는 문항을 확인하는 편이 좋습니다.

그래프 문항에서는 좌극한·우극한·함숫값을 각각 적어 검산하세요. 12번의 입력에 절댓값을 취하는 변형과 출력에 절댓값을 취하는 변형은 접근 경로가 다릅니다. 14·22번에서는 합성함수의 최종 출력값을 비교해야 하고, 20번에서는 미분가능성을 쓰기 전에 연속 조건으로 인수 구조부터 정리해야 합니다.

서술·단답형 검토에서는 결과보다 근거 누락을 먼저 찾으세요. 25번은 밑변에 대응하는 높이와 점의 위치, 26번은 약분 전 정의역, 27번은 정리의 전제와 결론이 중요합니다. 24번의 열린구간 끝점 포함 여부와 28번의 경우 분류도 확인하세요. 제한 시간 자료가 없으므로 구체적인 분 단위 배분 대신 연습 때 각 단계의 소요 시간을 기록하세요.

다음 시험 대비 학습 순서

1. 그래프의 극한값과 함숫값을 구별하고, 연속 여부를 좌우 접근과 함께 확인하세요. 불연속인 함수끼리 연산한 결과도 따로 판정하세요(1·4·15·18번 대비).
2. 극한의 대소 관계, 무한대에서의 차수 비교, 근호 유리화를 복습하세요. 변수가 음의 방향으로 커질 때 부호를 유지하며 치환해 보세요(3·5·17번 대비).
3. 평균변화율과 미분계수의 정의를 기하적으로 연결하세요. 거리 조건이나 접선과의 대소 관계를 차분몫으로 옮기는 연습을 하세요(2·7·13번 대비).
4. 곱의 미분법을 익힌 뒤 나눗셈 항등식과 함수 관계식에 적용하세요. 특정 값을 대입할 때 사라지는 항을 먼저 찾아보세요(6·9·10·11번 대비).
5. 구간별 함수의 연속·미분가능 조건을 순서대로 정리하세요. 합성함수와 곱에서는 새 함수의 접합 조건을 직접 세우세요(8·12·14·20·21·22·24번 대비).
6. 도형의 접촉이나 교점을 개수 함수로 나타내고, 넓이를 변수의 식으로 옮겨 보세요. 경계에서 개수가 바뀌는 상황과 극한 계산을 구분하세요(16·19·23·25번 대비).
7. 조건에 맞는 함수를 구성한 뒤 조건별 검증을 쓰고, 정리의 전제와 결론을 문장으로 복습하세요. 복합 극한은 유리화 후 경우를 나누세요(26·27·28번 대비).