휘문고등학교
2022년 1학년 1학기 기말고사

휘문고 1학년 1학기 기말 수학(상)은 어떤 시험인가

휘문고등학교는 서울 강남구에 있습니다. 이 시험에서 확인되는 범위는 여러가지방정식, 여러가지부등식, 이차방정식, 이차함수와 평면좌표·직선의방정식·원의방정식입니다. 대수 계산과 좌표도형을 함께 준비해야 하는 시험입니다.

기본 공식을 적용하는 문항과 여러 조건을 연결하는 문항이 섞여 있습니다. 원의 표준형이나 두 점을 지나는 직선처럼 출발이 분명한 문제를 확보한 뒤, 접선의 구성이나 정수 조건의 분류처럼 풀이 단계가 긴 문제로 넘어가는 운영이 적절합니다.

특히 도형을 방정식으로 옮긴 뒤 다시 도형의 조건을 확인하는 왕복 과정이 중요합니다. 거리식으로 후보를 구했더라도 점의 위치, 접점의 조건, 선분에 속하는지를 확인해야 합니다. 대수 문항에서도 실근과 허근, 서로 다른 해와 중근을 구별하는 일이 계산만큼 중요합니다.

난이도 분포 — 초반부터 이어지는 조건 해석

쉬움으로 분류된 2·11·12·20번은 원의 성립 조건, 해가 없는 부등식, 직선의 결정, 현의 길이를 다룹니다. 자동 분류 기준 쉬움이라도 부등호의 등호 포함 여부나 반현과 현의 구별에서 실수할 수 있습니다. 이 문항들은 풀이를 짧게 쓰면서도 핵심 조건을 남기는 연습에 적합합니다.

보통 문항인 1·4·5·13·19번에서도 치환, 외분점의 위치, 판별식 조건의 교집합, 정수해의 개수처럼 서로 다른 판단이 필요합니다. 어려움 문항은 3번에 먼저 나오고 6~10번에 이어지므로, 앞 문항을 끝내야만 다음으로 넘어가는 습관은 시간 운영에 불리할 수 있습니다.

14~18번도 자동 분류 기준 어려움으로 이어집니다. 서술·단답형과 객관식이 교차하므로 답안 형식을 먼저 확인하세요. 이 분류는 실제 응시자의 체감 난도를 확정하는 기준은 아니지만, 조건 해석에 시간이 걸릴 구간을 예상하고 연습 순서를 정하는 데 활용할 수 있습니다.

출제 단원 — 원의방정식과 부등식의 비중

원의방정식은 원이 되는 조건부터 접선, 교점과 거리, 매개변수에 따른 위치 관계까지 폭넓게 출제되었습니다. 표준형으로 고치는 연습만으로는 부족합니다. 중심과 직선 사이의 거리, 반지름, 교점의 좌표를 상황에 맞게 선택하고, 직선과 선분의 차이를 구별해야 합니다.

여러가지부등식에서는 절댓값과 정수해의 개수가 반복됩니다. 경계에서 정수해가 들어오거나 빠지는 순간을 수직선으로 확인하는 것이 좋습니다. 8번처럼 해집합이 주어진 문제는 각 부등식의 해를 구하는 데서 멈추지 말고, 교집합이 요구한 구간과 정확히 일치하는지까지 살펴야 합니다.

출제 수가 적은 단원도 다른 개념과 결합되어 있습니다. 14번은 각의 이등분선과 수선, 15번은 접선과 근과 계수의 관계, 16번은 항등식의 계수 비교와 점·직선 사이의 거리를 연결합니다. 단원별 기본형을 익힌 다음 개념을 바꾸어 쓰는 연결 연습이 필요합니다.

문항별 정리

주의 문항 — 분석상 고난도 문항 3개

이 문항들은 자동 분류 기준 어려움 문항 중 조건 처리 과정을 바탕으로 고른 분석상 고난도 문항입니다. 공통점은 계산으로 얻은 범위나 후보가 원래 조건과 정확히 일치하는지 다시 확인해야 한다는 것입니다. 풀이 전에는 경우를 나누는 기준을, 풀이 후에는 제외할 경우를 적어 보세요.

시간 배분과 놓치기 쉬운 조건

처음에는 전체 문항의 형태를 확인하고 바로 출발할 수 있는 문제를 먼저 푸세요. 3번에서 막히더라도 4·5번을 확인하고, 6~10번의 긴 풀이에 머무르기 전에 11·12번을 살펴보는 방식이 좋습니다. 뒤에 있는 19·20번까지 확인해 기본 구조가 보이는 문제를 남기지 마세요.

서술·단답형은 계산보다 조건의 연결을 먼저 적어 두세요. 14번은 길이비에서 내분점과 수선으로, 15번은 접함에서 기울기 방정식으로, 16번은 계수 비교에서 직선의 기울기와 거리로 이어집니다. 연습할 때 이 연결을 말로 설명한 뒤 계산하면 중간 단계에서 무엇을 구하는지 잊는 일을 줄일 수 있습니다.

마지막 검토에서는 등호와 위치 조건을 우선 확인하세요. 2번의 원 성립 조건, 5번의 근의 종류, 7·13번의 정수 경계, 17번의 접하는 경우는 작은 표시 하나로 판단이 달라집니다. 9번의 거리에는 절댓값이 필요한지, 18번에서는 수선의 발이 선분 위에 있는지, 20번에서는 현 전체를 구했는지도 점검하세요.

다음 시험 대비 학습 순서

1. 원의 표준형, 두 점을 지나는 직선, 지름과 현의 관계를 먼저 복습하세요. 좌표 계산 뒤에는 원래 점과 식에 대입해 검산하는 습관을 들이세요(2·12·20번 대비).
2. 판별식과 근과 계수의 관계를 묶어 연습하세요. 실근·허근·중근과 순서쌍의 개수를 구별하고, 거듭제곱 합을 근의 합과 곱으로 정리해 보세요(1·3·5·11·19번 대비).
3. 절댓값 부등식을 그래프와 수직선으로 나타내세요. 정수해를 세기 전 대칭성, 중심의 포함 여부, 경계의 부등호를 표시하세요(7·8·13번 대비).
4. 내분·외분과 수직인 직선을 연결하세요. 점의 위치를 그림으로 확인한 다음 거리비와 기울기 관계를 식으로 옮기는 순서를 익히세요(4·14번 대비).
5. 접선 조건을 거리와 중근이라는 서로 다른 표현으로 연습하세요. 기울기에 관한 방정식과 근과 계수의 관계를 연결하는 단계까지 확장하세요(6·15번 대비).
6. 여러 조건을 결합하는 문제는 경우표와 경계 그림을 활용하세요. 근 후보의 공통 조건, 항등식에서 필요한 정보, 직선과 선분의 차이를 확인하며 풀이를 마무리하세요(10·16·17·18번 대비).