휘문고등학교
2024년 1학년 1학기 기말고사

휘문고 1학년 1학기 기말 수학(상)은 어떤 시험인가

휘문고등학교는 서울 강남구에 있습니다. 이번 자료에서 확인되는 출제 범위는 이차방정식, 이차함수, 여러가지방정식, 여러가지부등식, 평면좌표, 직선의방정식, 원의방정식입니다. 방정식의 기본 성질과 좌표를 이용한 도형 해석이 함께 필요한 시험입니다.

도형에서는 좌표축을 어떻게 잡는지가 풀이 길이에 영향을 줍니다. 내분점의 좌표를 구하는 기본형에서 출발해 직선의 교점, 수선, 넓이와 거리 조건으로 이어집니다. 주어진 그림을 그대로 계산하기보다 밑변을 축 위에 놓거나 기준점을 원점으로 잡을 수 있는지 먼저 살펴보세요.

서술·단답형은 11~20번에 배치되어 있습니다. 초반의 내분점과 정점 문제를 정확하게 처리한 뒤, 후반에서는 접선의 성질이나 서로 다른 근의 개수처럼 계산을 시작할 근거를 잡아야 합니다. 풀이를 복습할 때도 식의 전개보다 그 식을 선택한 이유를 설명해 보세요.

난이도 분포 — 객관식 중반부터 이어지는 조건 해석

쉬움으로 분류된 2번은 판별식, 11번은 내분점 공식을 활용합니다. 보통 문항도 절댓값의 구간 구분이나 원 위의 점 조건을 요구하므로 공식을 알고 있다는 이유만으로 검토를 생략해서는 안 됩니다. 특히 거리와 좌표의 부호를 구별하는 것이 기본 구간의 실수를 줄이는 출발점입니다.

객관식에서는 6번에서 어려움 문항이 먼저 등장하고 7번은 보통으로 돌아옵니다. 이후 8~10번에서는 수선과 넓이, 정수해와 매개변수, 도형의 최댓값을 연결해야 합니다. 앞 문항에서 오래 막혔다고 뒤 문항을 모두 같은 부담으로 판단하지 말고 접근법이 보이는지 따로 확인하세요.

서술·단답형의 16~20번은 모두 어려움으로 분류되어 있습니다. 좌표 계산뿐 아니라 중복된 근, 열린구간의 정수, 접선과 수직 조건을 정리하는 시간이 필요합니다. 이 분포는 자동 분류 기준이며 실제 응시자의 체감 난도와 일치한다고 단정할 수는 없습니다.

출제 단원 — 직선의방정식과 평면좌표 중심

직선의방정식과 평면좌표는 각각 5문항입니다. 내분·외분 공식을 대입하는 데서 끝나지 않고 수선의 발, 교점, 삼각형의 넓이로 확장됩니다. 3·11·15번의 기본 계산을 정리한 뒤 6·8·10·17번처럼 여러 관계가 이어지는 유형으로 넘어가는 학습 순서가 적절합니다.

여러가지방정식은 허근의 관계, 도형의 둘레와 넓이, 삼차방정식의 근 개수로 구성됩니다. 여러가지부등식은 절댓값을 푸는 계산에서 정수해의 개수를 이용해 매개변수를 제한하는 문제로 확장됩니다. 방정식과 부등식을 별개 공식으로 외우기보다 후보를 만들고 조건으로 거르는 과정을 함께 연습하세요.

원의방정식에 속한 14·16번은 모두 자동 분류 기준 어려움입니다. 접점들을 직접 구하지 않고 중점을 활용하거나, 두 원의 식을 빼서 교점의 좌표 관계를 얻는 관점이 중요합니다. 이차함수의 20번도 접선의 기울기를 방정식의 해 조건으로 해석하므로 도형과 대수의 연결을 준비해야 합니다.

문항별 정리

작년 시험과 비교 — 원 중심에서 직선·좌표로 비중 이동

작년과 올해는 모두 수학(상)이며 총 문항과 서술·단답형 수가 같습니다. 자동 분류 기준 어려움은 작년 8문항에서 올해 10문항으로 늘었고 쉬움은 같습니다. 구성의 변화보다 여러 조건을 연결하는 문제에 대응하는 준비가 중요해졌다고 해석할 수 있습니다.

작년에는 원의방정식이 7문항으로 가장 많았지만 올해는 직선의방정식과 평면좌표가 각각 5문항으로 중심을 이룹니다. 원의방정식은 올해 2문항입니다. 작년의 주요 단원만 집중하기보다 내분점, 수선과 교점, 거리와 넓이처럼 좌표 단원 전반에 쓰이는 도구를 먼저 정리하세요.

작년 객관식의 어려움 문항은 9·10번이었으나 올해는 6·8번에서도 등장합니다. 서술·단답형도 작년에는 19·20번이 보통이었지만 올해는 16~20번이 어려움입니다. 초반부터 막힐 때 이동하는 연습과 후반 조건 검토 시간을 확보하는 연습을 함께 해야 합니다.

주의 문항 — 분석상 고난도 문항 3개

이 문항들은 이용자 투표로 확인된 순위가 아니라 조건 처리 과정을 근거로 고른 분석상 고난도 문항입니다. 공통점은 중간 결과를 얻은 뒤 해석의 기준이 바뀐다는 것입니다. 계산 결과 옆에 아직 사용하지 않은 조건을 적어 두면 다음 단계로 넘어갈 단서를 찾기 쉽습니다.

시간 배분과 놓치기 쉬운 조건

첫 풀이에서는 판별식과 분점 공식처럼 시작점이 명확한 문항부터 확보하세요. 6번에서 좌표 계산이 길어지면 표시하고 7번이나 서술·단답형 초반을 확인하는 방식도 연습할 수 있습니다. 객관식을 모두 끝낸 뒤 서술·단답형으로 넘어가야 한다고 정해 두면 후반에 접근 가능한 문제를 확인할 시간이 줄 수 있습니다.

도형 문제는 계산 전에 좌표축과 기준점을 표시하세요. 6·10번에서는 밑변과 축의 관계, 14번에서는 접점 사이 선분의 중점, 16번에서는 중심과 교점의 위치를 먼저 정리하는 것이 좋습니다. 17번은 반복되는 내분을 매번 새 길이로 계산하지 말고 공통 간격을 유지해 식을 정리하세요.

마지막 검토는 식 전체를 다시 전개하기보다 조건 누락을 찾는 데 쓰세요. 4·19번은 경계의 포함 여부, 18번은 서로 다른 근의 개수, 20번은 제외된 변수와 치환의 대응을 확인하세요. 분수로 표현한 값을 요구하는 문항에서는 마지막 표현이 문제의 형식에 맞는지도 살펴보세요.

다음 시험 대비 학습 순서

1. 판별식과 근과 계수의 관계를 복습하고 인수분해 뒤 남은 근의 성질을 설명해 보세요(1·2·12번 대비).
2. 내분·외분과 수선의 발을 연습하세요. 공식에 넣기 전에 선분 위에서 점의 순서를 표시하세요(3·11·15번 대비).
3. 절댓값을 구간별로 풀고 정수해의 양 끝을 표시하세요. 해의 범위와 정수 개수 조건을 서로 바꾸어 보세요(4·5·9·19번 대비).
4. 도형을 좌표로 옮겨 교점과 높이를 구하세요. 최대 배치를 정한 뒤 남는 위치의 경우도 비교하세요(6·8·10번 대비).
5. 원과 직선의 거리, 접선의 수직 관계, 두 원의 공통 교점 조건을 묶어 정리하세요(7·14·16번 대비).
6. 반복 내분은 기준 간격으로 통일하고, 근의 중복과 치환 문제는 후보를 원래 조건에 대조하는 표를 만들어 보세요(17·18·20번 대비).