상문고등학교
2025년 2학년 2학기 기말고사

상문고 2학년 2학기 기말 수학II는 어떤 시험인가

상문고등학교는 서울 서초구에 있습니다. 자료에서 확인되는 출제 범위는 미분계수와도함수, 도함수의활용, 부정적분, 정적분, 정적분의활용입니다. 미분과 적분의 기본 개념부터 함수의 개형, 운동, 넓이 해석까지 연결됩니다.

초반에는 다항함수의 정적분, 곡선과 직선 사이의 넓이, 극값 조건을 이용한 계수 결정이 나옵니다. 이후 적분값을 미지수로 두거나 도함수의 부호로 전체 구간의 조건을 확인하는 문제가 이어집니다. 공식 적용 전에 무엇을 미지수로 잡을지 정하는 능력이 중요합니다.

후반에서는 대칭인 함수의 극값, 적분으로 정의된 함수와 수평선의 교점, 조각함수의 미분가능성 등을 다룹니다. 계산을 마친 뒤 조건에 맞는지 되돌아보는 과정이 필요합니다. 특히 연속성과 미분가능성, 정적분과 도형의 넓이를 구분해서 설명하는 연습을 하세요.

난이도 분포 — 어려움은 객관식 후반에 집중

1번은 기본적인 다항함수의 정적분 계산입니다. 2~9번은 자동 분류 기준 보통이지만, 연속 조건으로 상수를 정하거나 열린구간 전체에서 도함수의 부호를 확인하는 단계가 포함됩니다. 기본 문제라고 생각해 조건을 생략하면 계산이 맞아도 풀이의 출발점이 어긋날 수 있습니다.

10~14번에서는 적분 구간의 분할, 대칭과 극값, 운동의 조건, 역함수의 넓이, 교점의 개수를 차례로 다룹니다. 서로 다른 표현을 같은 구조로 바꾸는 작업이 이어집니다. 한 문항에 오래 머물렀다면 뒤의 서술·단답형을 확인해 풀이 흐름을 다시 잡으세요.

15·17·18번은 모두 자동 분류 기준 보통입니다. 서술·단답형이라는 형식만으로 가장 어려운 구간이라고 볼 수는 없습니다. 난이도는 자동 분류 기준이므로 개인의 체감과 다를 수 있지만, 이 시험에서는 형식보다 조건 변환의 복잡성을 보고 풀이 순서를 정하는 편이 유용합니다.

출제 단원 — 정적분과 도함수의 활용을 함께 준비

정적분은 기본 계산만 반복되지 않습니다. 4번은 구간별 정의와 연속성, 5번은 대칭성, 6번은 상수인 적분값과 극한을 연결합니다. 10번에서는 작은 구간의 적분값을 따로 두고 관계를 정리하며, 14·18번에서는 적분식을 함수로 다루는 관점이 필요합니다.

도함수의 활용은 극값과 증가·감소뿐 아니라 평균값 정리, 운동, 실근 개수로 확장됩니다. 3·7·9번에서 부호표와 최솟값 판단을 익힌 뒤 11·12·19번의 복합 조건으로 넘어가세요. 도함수의 영점을 찾는 것과 그 점에서 실제로 극값을 갖는 것은 구별해야 합니다.

정적분의 활용은 2번의 기본 넓이에서 13번의 역함수, 20번의 대칭과 넓이 조건으로 이어집니다. 단독으로 분류된 16번과 17번도 빠뜨리기 어렵습니다. 각각 미분가능성의 정의와 부정적분·미분의 관계를 확인하므로 다른 단원 문제를 풀 때의 근거를 보완합니다.

문항별 정리

주의 문항 — 분석상 고난도 문항 3개

이 문항들은 이용자 투표로 확인된 순위가 아니라 해설의 조건 처리 구조를 근거로 고른 분석상 고난도 문항입니다. 공통점은 식을 계산하기 전에 그래프의 어느 부분을 보고 있는지 정해야 한다는 것입니다. 구간과 부호, 경계의 역할을 그림 옆에 적고 계산 후 원래 조건으로 돌아오는 습관을 들이세요.

시간 배분과 놓치기 쉬운 조건

첫 풀이에서는 1~9번의 기본 구조를 확인하고, 10~14번에서 접근이 막히면 표시한 뒤 다음 문항을 보세요. 서술·단답형 15·17·18번은 자동 분류 기준 보통이므로 객관식 후반을 모두 끝낸 뒤 풀겠다는 계획은 재검토할 필요가 있습니다. 연습할 때는 첫 관계식을 세우는 데 걸린 시간과 계산 시간을 구분해 기록하세요.

서술·단답형은 근거를 빠뜨리지 않는 것이 중요합니다. 15번은 평균값 정리를 적용하는 구간과 가정을 확인하고, 17번은 미분한 뒤 적분상수를 정하는 조건을 남겨 두세요. 18번은 적분변수와 바깥 변수를 구별해야 합니다. 식을 나눌 때 제외한 입력이 있다면 다항식의 연속성이나 항등식의 성질로 그 지점도 확인하세요.

마지막 검토는 계산을 처음부터 반복하기보다 조건 누락에 집중하세요. 8·12번은 시간 범위와 위치의 부호, 11번은 미분가능하지 않은 점에서의 극값, 19번은 서로 다른 실근의 중복을 확인하세요. 13·20번은 넓이와 정적분의 부호가 일치하는지, 14·16번은 경계에서 판단이 달라지는지 점검하는 것이 좋습니다.

다음 시험 대비 학습 순서

1. 다항함수의 적분과 구간 분할부터 복습하세요. 연속 조건으로 미지수를 정한 뒤 적분 구간을 나누는 순서를 익히세요(1·4번 대비).
2. 극값과 증가·감소를 부호표로 설명하세요. 전 구간의 최솟값과 제한된 구간의 최솟값을 구별하고 평균값 정리의 가정도 적어 보세요(3·7·9·15번 대비).
3. 적분의 대칭성과 상수인 적분값을 묶어 연습하세요. 작은 구간의 적분값을 문자로 두어 관계를 정리하는 방법까지 확장하세요(5·6·10번 대비).
4. 미분과 적분의 연결을 복습하세요. 곱의 미분과 적분으로 정의된 함수의 미분을 구별하고, 필요한 초기 조건과 적분상수를 확인하세요(17·18번 대비).
5. 넓이와 운동은 그림과 부호표를 먼저 만드세요. 위치·속도·거리의 관계를 정리한 뒤 역함수와 대칭을 이용하는 넓이로 확장하세요(2·8·12·13·20번 대비).
6. 접합점과 교점 개수 문제를 마무리하세요. 좌우 미분계수, 극값의 위치, 중복된 실근을 각각 검사하는 점검표를 만들어 보세요(11·14·16·19번 대비).