정신여자고등학교
2024년 2학년 2학기 기말고사

정신여고 2학년 2학기 기말 수학II는 어떤 시험인가

정신여자고등학교는 서울 송파구에 있습니다. 이 회차에서 확인되는 단원은 도함수의활용, 부정적분, 정적분, 정적분의활용, 미분계수와도함수입니다. 극값과 최대·최소를 구하는 기본형에서 적분으로 정의한 함수의 성질까지 함께 다룹니다.

여러 문항은 미지수를 정한 다음 다른 성질을 묻는 구조입니다. 극값 조건을 도함수의 부호로 해석하거나, 연속성과 미분가능성으로 함수식을 정한 뒤 넓이나 함숫값을 살핍니다. 식을 얻는 과정과 얻은 식을 사용하는 과정을 구별하면 풀이 흐름을 놓치지 않을 수 있습니다.

서술·단답형에는 대칭 구간의 적분, 적분식의 극한, 운동, 입체도형의 최적화, 평균값 정리의 증명이 포함됩니다. 계산을 정확히 끝내는 능력과 정리의 적용 근거를 문장으로 남기는 능력이 모두 필요합니다. 특히 증명 문항은 계산형 문제와 별도로 연습하세요.

난이도 분포 — 중반의 연속된 조건 해석

쉬움은 3·15번입니다. 부정적분의 적분상수와 정적분의 대칭성을 확인하는 기본형이지만, 조건 대입이나 적분 방향을 빠뜨리면 계산이 달라집니다. 보통 문항은 초반과 서술·단답형 일부에 분포하며, 극값의 정의와 평균값 정리처럼 개념을 설명해야 하는 문제도 포함합니다.

9~14번은 모두 자동 분류 기준 어려움입니다. 절댓값을 풀어 함수식을 나누거나 극한 조건을 미분계수로 바꾸는 과정이 필요합니다. 같은 구간에서 연달아 막히면 전체 풀이 시간이 줄어들 수 있으므로, 각 문항의 첫 접근이 보이는지를 기준으로 풀이 순서를 정하세요.

후반의 17·18·19·22번도 어려움으로 분류됩니다. 적분 방정식의 근 개수, 절댓값 곡선의 넓이, 운동의 만남 조건, 이동 구간 적분의 최솟값이 이어집니다. 난이도는 자동 분류 기준이며, 실제 응시자의 체감과 일치한다고 단정할 수는 없습니다.

출제 단원 — 도함수 활용과 정적분의 연결

도함수의활용은 초반의 최대·최소와 극값 판정에서 시작해 절댓값 함수의 구조, 방정식의 근 개수, 부피 최적화와 증명으로 이어집니다. 도함수가 사라지는 지점을 찾는 데서 멈추지 말고 부호 변화와 정의역을 함께 적는 연습이 중요합니다.

정적분은 계산뿐 아니라 적분으로 정의한 함수의 극한과 극값을 다룹니다. 8번에서 변수인 적분 끝점을 미분하는 기본을 익힌 뒤 10·16번의 극한, 17번의 교점 해석, 22번의 구간 분할로 확장해 보세요. 미분과 적분을 따로 복습하면 연결 단계에서 어려움을 겪을 수 있습니다.

미분계수와도함수의 11·14번은 모두 자동 분류 기준 어려움입니다. 분량이 적은 단원도 연결점의 연속성과 좌우 미분계수를 묶어 물으면 부담이 커집니다. 정적분의활용에서는 7번의 위치와 거리 구분을 바탕으로 18번의 넓이, 19번의 만남 조건을 준비하세요.

문항별 정리

작년 시험과 비교 — 같은 과목에서 늘어난 조건 해석 부담

작년과 올해는 모두 수학II입니다. 총 문항은 20문항에서 22문항으로, 서술·단답형은 3문항에서 5문항으로 늘었습니다. 자동 분류 기준 어려움은 5문항에서 10문항으로 늘었고 쉬움과 보통은 줄었습니다. 분류상 어려운 문제를 처리하면서 서술·단답형에 쓸 시간을 확보하는 연습이 더 중요해진 구성입니다.

가장 많은 단원은 두 해 모두 도함수의활용으로 9문항입니다. 다만 전체 문항 수가 늘어 비중은 줄었습니다. 정적분은 4문항에서 7문항으로 늘었고 정적분의활용은 5문항에서 3문항으로 줄었습니다. 올해에는 미분계수와도함수도 포함되므로 적분 계산 연습에 연결점의 조건 해석을 함께 묶어 두세요.

작년의 어려움 문항은 11·13·14·16·17번이었고, 올해는 9~14번과 17·18·19·22번입니다. 올해는 중반부터 연속 구간이 형성되고 마지막 문항까지 이어집니다. 다음 시험 준비에서는 초반 기본형의 정확도를 높인 뒤 구간별 함수와 그래프 교점 문제를 묶어 풀고, 서술 근거를 남기는 연습을 병행하세요.

주의 문항 — 분석상 고난도 문항 3개

이 문항들은 이용자 투표에 따른 난도 순위가 아니라 조건 처리 과정을 근거로 고른 분석상 고난도 문항입니다. 공통적으로 식을 바로 계산하기 전에 그래프나 구간의 구조를 결정해야 합니다. 풀이를 복습할 때에는 계산 줄 수보다 경우를 나눈 이유를 설명할 수 있는지 확인하세요.

시간 배분과 놓치기 쉬운 조건

첫 풀이에서는 1~8번의 기본형과 접근 가능한 서술·단답형을 살펴보세요. 9~14번에서 오래 머물기 전에 15·16·20·21번의 접근도 확인하는 편이 좋습니다. 특히 21번은 계산이 짧더라도 증명의 문장 구성이 필요하므로 마지막에 처음 읽는 상황을 피하세요.

연습 중에는 조건 해석과 계산에 걸린 시간을 구별해 기록하세요. 11·14번은 연속 조건과 미분가능 조건을 구분하고, 18·22번은 적분 구간을 먼저 표시하면 계산 중 되돌아가는 일을 줄일 수 있습니다. 서술형은 식만 쓰지 말고 구간을 나눈 기준과 최댓값·최솟값으로 판단한 이유를 짧게 남기세요.

검토에서는 부호와 제외 조건을 우선 보세요. 7번은 위치 변화와 거리, 13번은 허용 범위와 공통근, 19번은 출발 후라는 조건을 확인해야 합니다. 20번은 도형에서 허용하는 길이 범위, 21번은 임의의 점에 정리를 적용했는지, 22번은 구간 경계의 포함 여부를 점검하세요.

다음 시험 대비 학습 순서

1. 미분과 부정적분의 기본 계산을 점검하고 적분상수와 초기 조건을 연결하세요. 짧은 계산에서도 조건 대입을 생략하지 않는 연습부터 시작하세요(3·8·15번 대비).
2. 극값과 최대·최소를 구분하세요. 도함수의 부호표를 그린 뒤 끝점과 정의역을 확인하고, 필요조건으로 얻은 후보를 다시 판정하세요(1·2·4·5·6번 대비).
3. 절댓값과 구간별 함수는 연결점의 연속성, 좌우 미분계수, 부호 변화를 함께 정리하세요. 계산 전에 구간표를 만드는 습관이 도움이 됩니다(9·11·12·14번 대비).
4. 적분으로 정의한 함수의 극한과 미분을 이어서 공부하세요. 적분변수와 외부 변수를 구별하고 미분계수 형태로 바꾸는 이유를 말로 설명하세요(8·10·16·17번 대비).
5. 교점과 넓이, 운동 문제는 그림과 구간 분할부터 시작하세요. 실근의 중복, 속도의 부호, 초기 위치를 따로 점검하는 목록을 만드세요(7·13·18·19번 대비).
6. 응용과 증명에서는 풀이의 근거를 문장으로 남기세요. 도형의 변수 범위, 평균값 정리의 가정, 이동 구간의 분류를 먼저 적고 계산으로 이어가세요(20·21·22번 대비).