영동고등학교
2024년 2학년 2학기 기말고사

영동고 2학년 2학기 기말 수학II는 어떤 시험인가

영동고등학교는 서울 강남구에 있습니다. 이 시험 자료에서 확인되는 출제 단원은 도함수의활용, 부정적분, 정적분, 정적분의활용입니다. 도함수로 함수의 성질을 분석하고, 그 결과를 적분 조건과 넓이에 연결하는 구성이 나타납니다.

기본형에서는 롤의 정리, 증가 조건, 극값과 최대·최소를 확인합니다. 응용형에서는 수평선과 그래프의 교점, 역함수의 대칭, 연속함수의 부호 선택을 다룹니다. 적분 기호가 보이더라도 곧바로 원시함수를 구하기보다 먼저 그래프의 형태와 구간을 정해야 하는 문항이 있습니다.

문항 번호가 커질수록 일관되게 어려워지는 시험은 아닙니다. 자동 분류 기준 어려움이 이어지는 객관식 후반과 달리, 서술·단답형은 기본 개념을 적용할 수 있는 구성이므로 전체를 훑어 풀이 순서를 정하는 연습이 필요합니다. 마지막 문항의 형식도 별도로 확인하세요.

난이도 분포 — 객관식 중후반에 집중된 조건 해석

쉬움으로 분류된 1·2·17번은 정적분 계산, 롤의 정리, 부정적분과 초기 조건을 다룹니다. 이 문항들은 개념을 짧게 확인하는 기준점으로 삼으세요. 정적분의 끝값 대입과 부정적분의 적분상수 결정처럼 기본 절차를 빠뜨리지 않는 것이 우선입니다.

보통 문항에서도 부호 판단이 필요합니다. 3번은 속도가 사라지는 시각과 운동방향이 바뀌는 시각을 구별해야 하고, 9번은 위치 조건과 이동거리를 분리해야 합니다. 18·19번은 극대와 닫힌구간의 최대·최소를 각각 확인하는 문제이므로 이름이 비슷한 개념을 섞지 마세요.

자동 분류 기준 어려움은 6·8번과 10~16번, 21번입니다. 특히 10~16번에서는 미분 조건으로 적분값을 제한하거나 연속성과 적분 부등식을 함께 사용하는 등 출발 조건을 해석하는 부담이 이어집니다. 이 분류가 실제 응시자의 체감 난도와 같다고 단정할 수는 없습니다.

출제 단원 — 도함수의활용의 비중과 정적분의 난도

도함수의활용은 2~5번에서 기본 개념을 확인한 뒤 8·11·16번에서 그래프와 조건 추론으로 확장됩니다. 미분하여 임계점을 찾는 것에 그치지 않고 부호표, 극값의 높이, 수평선과의 교점을 서로 연결하는 연습이 필요합니다.

정적분은 1번을 제외한 해당 단원 문항이 모두 자동 분류 기준 어려움입니다. 12번의 대칭성, 13번의 연속성과 구간별 부호, 15·21번의 적분으로 정의된 함수처럼 계산 전 판단이 중요합니다. 정적분의활용에서는 역함수의 넓이와 넓이 이등분, 운동, 도형의 분할을 함께 다루므로 그림과 식을 오가며 준비하세요.

문항별 정리

작년 시험과 비교 — 어려움은 감소하고 서술·단답형의 구성이 달라졌습니다

작년과 올해 모두 수학II이며 총 문항 수는 같습니다. 자동 분류 기준 어려움은 작년 14문항에서 올해 10문항으로 줄었고, 보통은 4문항에서 8문항으로 늘었습니다. 쉬움은 3문항으로 같습니다. 다만 이 수치만으로 실제 응시 난도가 얼마나 달라졌는지 판단할 수는 없습니다.

도함수의활용은 작년 8문항에서 올해 9문항으로 늘고, 부정적분은 2문항에서 1문항으로 줄었습니다. 정적분은 7문항, 정적분의활용은 4문항으로 같습니다. 따라서 학습의 중심은 도함수의 그래프 해석과 정적분 조건 처리에 두되, 부정적분의 기본 계산도 빠뜨리지 않는 것이 좋습니다.

작년에는 서술·단답형 17~21번 중 18~21번이 어려움으로 분류되었습니다. 올해는 서술·단답형이 17~20번이며 쉬움 또는 보통이고, 21번은 객관식 어려움입니다. 작년의 번호별 형식을 그대로 예상하기보다 시험 전체의 형식과 접근 가능한 문항을 먼저 확인하세요.

주의 문항 — 분석상 고난도 문항 3개

이 문항들은 이용자 투표로 확인된 난도 순위가 아니라 조건을 결합하는 과정을 근거로 고른 분석상 고난도 문항입니다. 공통적으로 식의 계산 전에 그래프의 가능한 형태를 제한해야 합니다. 부호표와 개략도를 만든 뒤 다음 조건을 적용하면 같은 경우를 반복해서 계산하는 일을 줄일 수 있습니다.

시간 배분과 놓치기 쉬운 조건

첫 풀이에서는 정적분 계산과 기본 미분 활용처럼 접근이 보이는 문제를 먼저 처리하세요. 6·8번에서 그림이 바로 정리되지 않으면 표시하고 다음 문항을 확인하세요. 10~16번에 오래 머물러 17~20번을 보지 못하는 일이 없도록, 서술·단답형까지 미리 훑는 순서를 연습하는 것이 좋습니다.

조건 확인은 문제 유형별로 달리하세요. 3번은 속도의 영점 전후에서 부호가 바뀌는지, 4번은 도함수가 일부 지점에서 사라져도 전체 증가가 유지되는지 살펴야 합니다. 9번은 변위와 이동거리를 구별하고 19번은 구간 내부의 임계점뿐 아니라 양 끝점의 함숫값까지 비교하세요.

후반 검토에서는 적분의 위끝과 아래끝, 절댓값을 푸는 기준, 연속성과 미분가능성의 대상을 확인하세요. 10번은 상한을 만드는 후보가 실제로 미분가능한지, 15번은 구간별 식이 경계에서 이어지는지 검토해야 합니다. 연습할 때는 계산 오류와 조건 해석 오류를 나누어 기록하면 보완할 부분이 분명해집니다.

다음 시험 대비 학습 순서

1. 정적분의 끝값 대입과 부정적분의 적분상수 결정을 먼저 익히세요. 초기 조건을 적용하는 줄을 생략하지 않는 연습이 필요합니다(1·17번 대비).
2. 롤의 정리와 증가·감소, 극대·극소, 최대·최소를 구별하세요. 임계점과 구간 끝점을 부호표에 함께 표시하세요(2·4·5·18·19번 대비).
3. 운동 문제는 위치, 속도, 변위, 이동거리를 구분하여 풀어 보세요. 속도의 영점 전후 부호를 확인한 다음 적분 구간을 나누세요(3·9번 대비).
4. 넓이 문제는 교점과 위아래 관계부터 그리세요. 역함수의 대칭과 전체 넓이에서 일부를 빼는 방법을 함께 연습하세요(6·7·20번 대비).
5. 수평선과 그래프의 교점 개수를 구간별로 정리하세요. 극값 높이에서의 접촉과 여러 그래프에 공통으로 속하는 해를 확인하세요(8·11·16번 대비).
6. 적분 조건은 대칭성, 연속성, 항등식으로 나누어 접근하세요. 부호를 먼저 정하고 함수의 차수나 계수를 결정할 조건을 찾아 보세요(10·12·13·14번 대비).
7. 적분으로 정의된 함수를 미분하여 원래 함수와 연결하세요. 절댓값을 취한 뒤 극값과 미분가능성을 각각 검토하는 연습으로 마무리하세요(15·21번 대비).