서현고등학교
2023년 1학년 1학기 기말고사

서현고 1학년 1학기 기말 수학(상)은 어떤 시험인가

서현고등학교는 경기 성남시에 있습니다. 이번 시험에서 확인되는 범위는 여러가지방정식, 여러가지부등식, 평면좌표, 직선의방정식, 원의방정식입니다. 방정식의 인수분해와 부등식의 해석을 바탕으로 좌표평면의 거리와 접선까지 연결합니다.

초반에는 내분점과 무게중심처럼 공식을 정확히 적용하는 문제가 놓여 있습니다. 이후에는 정사각형의 성질을 좌표로 옮기거나, 넓이 조건으로 직선의 위치를 정하는 과정이 필요합니다. 공식을 외우는 데서 그치지 않고 어떤 도형 관계를 식으로 표현할지 선택해야 합니다.

후반에는 가능한 경우를 모두 찾고 예외를 제외하는 부담이 커집니다. 이등변삼각형의 변 대응, 복이차방정식의 서로 다른 근, 직각삼각형을 만드는 점의 자취가 대표적입니다. 서술·단답형에서는 원과 직선의 위치 관계를 부등식이나 접선 조건으로 정리하는 능력을 점검합니다.

난이도 분포 — 객관식 후반에 모인 조건 해석

쉬움 구간인 1~5번에서는 좌표 공식, 이차부등식의 항상 성립 조건, 사차방정식의 인수분해를 다룹니다. 빠르게 풀되 내분과 외분의 부호 차이, 엄격한 부등호의 경계 처리처럼 이후에도 반복되는 기본 조건을 놓치지 않아야 합니다.

보통 구간의 6~11번은 도형 성질을 좌표로 옮기고 절댓값의 부호를 나누며 켤레근을 이용하는 등 풀이 방향을 고르는 문제가 이어집니다. 후반의 15번과 서술·단답형 19·20번도 보통이므로 번호가 뒤에 있다는 이유로 미리 포기할 필요는 없습니다.

자동 분류 기준 어려움 문항은 12번부터 등장합니다. 단순한 식 계산보다 넓이 분할, 근의 개수, 그래프의 교점과 자취의 교차를 정리해야 하는 비중이 큽니다. 이 분포는 실제 응시자의 체감 난도를 확정하는 자료가 아니며, 풀이 과정에서 필요한 판단의 종류를 확인하는 기준으로 활용하세요.

출제 단원 — 방정식과 원의 조건을 함께 준비

여러가지방정식은 인수정리와 켤레근의 기본에서 복이차방정식의 근 분류, 허근의 거듭제곱 주기로 확장됩니다. 같은 방정식 단원이라도 해를 직접 구하는 경우와 근의 성질만 이용하는 경우를 구별해야 합니다. 특히 14·16번은 전개를 늘리기보다 인수 구조와 반복성을 먼저 찾는 편이 좋습니다.

원의방정식은 접선, 축과 직선에 동시에 접하는 원, 위치 관계와 자취를 포괄합니다. 10·15번에서 중심과 직선 사이의 거리를 반지름과 연결하는 방법을 익히면 19·20번의 서술·단답형에도 활용할 수 있습니다. 18번은 거리 계산에 앞서 직각 조건이 만드는 도형을 모두 찾아야 합니다.

평면좌표와 직선의방정식은 기본 공식에서 도형 해석으로 연결됩니다. 13번은 거리의 같음을 분류하면서 삼각형이 성립하는지 확인하고, 12번은 넓이 비를 높이나 선분의 비로 바꾸어야 합니다. 여러가지부등식의 17번 역시 해의 범위를 그래프의 모양으로 읽는 연습이 필요합니다.

문항별 정리

작년 시험과 비교 — 서술·단답 감소와 원의 비중 확대

작년과 올해는 모두 수학(상)이며 총 문항 수는 같습니다. 자동 분류 기준 쉬움은 같고 어려움은 줄었으며 보통이 늘었습니다. 서술·단답형도 감소했지만, 이 변화만으로 실제 풀이 시간이 줄었다고 단정할 수는 없습니다. 올해는 객관식 후반의 경우 분류를 얼마나 정돈해서 처리하는지가 중요합니다.

작년에는 직선의방정식이 가장 많았고 올해는 여러가지방정식과 원의방정식이 공동으로 가장 많습니다. 여러가지방정식의 문항 수는 같으며 직선의방정식은 줄었습니다. 작년 단원 목록에는 원의방정식이 없으므로, 올해 대비에서는 원의 접선과 위치 관계를 별도의 학습 축으로 확보해야 합니다.

작년의 어려움은 11·13·14·15·16·17·18·20번에 있었고 서술·단답형에도 포함됐습니다. 올해는 객관식 12·13·14·16·17·18번에 모이며 서술·단답형은 모두 보통입니다. 다음 시험을 준비할 때도 어려운 객관식 뒤의 서술·단답형까지 먼저 훑고, 거리와 접선의 기본 절차를 안정적으로 완성하는 연습을 권합니다.

주의 문항 — 분석상 고난도 문항 3개

위 문항들은 자동 분류 기준 어려움 가운데 조건 처리 구조를 근거로 고른 분석상 고난도 문항입니다. 이용자 투표로 확인된 난도 순위는 아닙니다. 공통적으로 경우 분류 뒤에 중복과 제외 조건을 검사해야 하므로, 풀이 끝에 원래 조건으로 돌아오는 검토 단계를 남겨 두세요.

시간 배분과 놓치기 쉬운 조건

첫 풀이에서는 1~11번의 기본 구조를 확인하고 계산이 길어지는 곳에 표시하세요. 12번부터 조건 분류가 막히면 뒤의 15번과 19·20번도 확인하는 운영이 필요합니다. 어려움 문항을 번호 순서대로 모두 해결한 뒤 서술·단답형으로 넘어가려 하면 접근 가능한 문항에 쓸 시간이 부족해질 수 있습니다.

서술·단답형은 시작 조건을 먼저 적어 두세요. 19번은 원과 직선이 만나는 방식에 따라 거리와 반지름의 대소를 구별하고, 접하는 경계를 포함하는지 확인해야 합니다. 20번은 접점이 주어진 경우와 외부 점이 주어진 경우를 나누고 수직 접선을 먼저 점검하면 불필요한 누락을 줄일 수 있습니다.

마지막 검토에서는 모든 계산을 다시 하기보다 조건 누락을 찾으세요. 13번의 일직선 배치, 14번의 근 중복, 17번의 교점 중복, 18번의 꼭짓점 제외가 우선 대상입니다. 3·7·19번은 부등호의 경계와 정수 조건을 확인하며, 연습 때는 풀이 방향을 정하는 시간과 계산 시간을 구별해 기록해 보세요.

다음 시험 대비 학습 순서

1. 좌표의 내분·외분과 무게중심을 복습하세요. 공식을 쓴 뒤 점의 위치와 부호를 그림으로 확인하세요(1·2·4번 대비).
2. 인수정리, 켤레근, 연립방정식의 경우 분류를 연습하세요. 각 경우에서 나온 해를 원래 식에 대조하세요(5·8·9번 대비).
3. 이차부등식의 항상 성립 조건과 절댓값 구간 분리를 익힌 뒤 해의 범위로 그래프를 복원하세요(3·7·17번 대비).
4. 수직 관계와 중점, 넓이를 직선의 식으로 바꾸세요. 도형 배치를 먼저 그리고 기준 밑변과 높이를 표시하세요(6·11·12·13번 대비).
5. 원의 중심·반지름을 읽고 거리로 위치 관계를 판단하세요. 접선과 정수 범위 문제를 연결하되 수직선을 따로 검사하세요(10·15·19·20번 대비).
6. 복이차방정식의 경계와 허근의 주기, 직각 조건의 자취를 정리하세요. 경우별 결과에 중복·제외 확인란을 두고 복습하세요(14·16·18번 대비).