잠실고등학교
2023년 1학년 1학기 기말고사

잠실고 1학년 1학기 기말 수학(상)은 어떤 시험인가

잠실고등학교는 서울 송파구에 있습니다. 이번 자료에서 확인되는 출제 범위는 여러가지방정식, 여러가지부등식, 평면좌표, 직선의방정식, 원의방정식입니다. 복소수인 근을 다루는 대수 문제와 좌표평면 위 도형을 해석하는 문제가 함께 나옵니다.

기본 공식의 적용만으로 끝나는 문항도 있지만, 같은 거리라는 표현을 수직이등분선으로 바꾸거나 넓이를 이등분하는 조건을 대칭과 교점으로 옮기는 과정이 중요합니다. 원 문제에서도 방정식을 세우는 능력과 중심·반지름을 이용해 거리를 판단하는 능력을 함께 요구합니다.

서술·단답형은 모두 같은 부담을 갖지는 않습니다. 자동 분류 기준 18번은 쉬움이고 16·20번은 보통이므로, 형식만 보고 뒤로 미룰 필요는 없습니다. 계산 결과뿐 아니라 치환을 되돌리는 과정, 접선의 성질을 쓰는 근거, 후보를 제외하는 조건을 짧게 정리하는 연습이 유용합니다.

난이도 분포 — 객관식 후반의 도형 해석과 서술형의 조건 연결

쉬움으로 분류된 1·6·18번은 각각 직선의 위치 관계, 평면좌표의 기본 개념, 공통부분을 치환하는 사차방정식입니다. 특히 18번은 서술·단답형 구간에 있으므로 앞에서 막혔더라도 따로 확인하세요. 기본형에서 실수를 줄이는 것이 후반 문제를 검토할 시간을 확보하는 출발점입니다.

보통 문항도 조건을 읽는 과정이 필요합니다. 8번은 계수의 부호에 따라 부등식의 해가 달라지고, 10번은 정점을 지나는 직선이 삼각형과 만나는 범위를 해석합니다. 풀이가 길어지면 계산을 반복하기보다 부호 분류나 그림의 경계 설정이 맞는지 먼저 확인하세요.

자동 분류 기준 어려움은 13~15번에 연속해서 나타나고 17·19번으로 이어집니다. 넓이 분할, 원과 무게중심의 결합, 자취 변환처럼 접근을 정하는 단계가 중요합니다. 이 분포는 실제 응시자의 체감 난도를 확정하는 자료가 아니며, 학습할 때 조건 연결의 부담이 어디에 있는지 살피는 기준으로 활용하세요.

출제 단원 — 원의방정식을 중심으로 이어지는 좌표 기하

원의방정식은 접선과 넓이를 연결하는 11·20번, 외접원과 무게중심을 결합하는 14번, 자취를 해석하는 15번, 거리의 범위를 판단하는 16번으로 구성됩니다. 원의 식을 정리하는 데서 멈추지 말고 반지름과 접선의 수직 관계, 원 안팎에서의 거리 차이를 함께 정리해야 합니다.

평면좌표와 직선의방정식도 원 문제를 푸는 바탕입니다. 4번의 수직이등분선, 7번의 내분점, 10번의 정점, 13번의 넓이 분할을 각각 그림과 식으로 표현해 보세요. 17번은 거리 계산으로 삼각형의 형태를 파악한 뒤 내접원의 중심을 좌표로 옮기는 연결이 필요합니다.

대수 영역에서는 2·3번의 허근 관계와 거듭제곱 정리, 18번의 치환을 묶어 복습할 수 있습니다. 부등식은 주어진 범위 전체에서의 성립, 해집합을 통한 함수 복원, 모든 실수에서의 성립을 구별해야 합니다. 같은 판별식이나 그래프를 사용하더라도 적용 범위가 다르다는 점을 설명할 수 있어야 합니다.

문항별 정리

작년 시험과 비교 — 서술·단답형과 어려움 문항의 증가

작년과 올해는 모두 수학(상)이며 총 문항 수는 같습니다. 자동 분류 기준 쉬움 문항 수는 같고, 보통이 줄면서 어려움이 늘었습니다. 서술·단답형도 작년 18~20번에서 올해 16~20번으로 확대되어, 풀이의 근거를 직접 정리하는 연습이 더 필요합니다.

작년에는 여러가지부등식과 여러가지방정식이 각각 5문항으로 가장 많았고 원의방정식은 4문항이었습니다. 올해는 원의방정식이 5문항으로 가장 많고 평면좌표도 작년 3문항에서 올해 4문항으로 늘었습니다. 대수의 기본기를 유지하면서 원·직선·거리의 관계를 연결하는 유형을 충분히 연습하세요.

작년 어려움 문항은 16·17·20번이었고 올해는 13·14·15·17·19번입니다. 객관식 후반에서 어려움 구간이 더 앞쪽에 나타나므로 끝 번호만 보고 시간 배분을 정하기 어렵습니다. 전체를 먼저 훑고, 막힌 도형 문제를 잠시 미룬 뒤 서술·단답형의 기본형을 처리하는 연습이 도움이 됩니다.

주의 문항 — 분석상 고난도 문항 3개

이 문항들은 이용자 투표로 확인된 난도 순위가 아니라 조건 처리 구조를 근거로 고른 분석상 고난도 문항입니다. 공통점은 그림의 관계를 먼저 제한하고 그다음 식을 세운다는 것입니다. 풀이를 복습할 때 첫 식이 왜 가능한지와 마지막 후보를 어떤 조건으로 검토했는지를 함께 설명해 보세요.

시간 배분과 놓치기 쉬운 조건

첫 풀이에서는 초반 기본형을 정확히 처리하고 13~15번에서 접근이 떠오르지 않으면 표시한 뒤 넘어가세요. 서술·단답형의 18번처럼 구조가 분명한 문항을 먼저 확인할 수 있습니다. 연습할 때 전체를 훑는 시간과 실제로 계산하는 시간을 구분해 기록하면 어느 단계에서 시간이 늘어지는지 알 수 있습니다.

좌표 도형은 조건을 그림 옆에 적는 습관이 좋습니다. 13번은 교점이 놓이는 변, 14번은 사분면, 15번은 점들이 놓이는 방향과 원 안팎의 위치가 중요합니다. 17번에서는 직각인 꼭짓점과 접점을 표시하고 내분비를 대응시키면 좌표 계산에서 바뀌는 비를 줄일 수 있습니다.

마지막 검토에서는 부등식의 적용 범위와 해의 누락을 확인하세요. 5번의 제한된 구간과 19번의 모든 실수 조건을 구별하고, 8번에서는 계수가 영인 경우를 점검해야 합니다. 18번은 치환 뒤의 모든 경우를 원래 변수로 복원했는지, 20번은 절편을 길이로 해석할 때 부호 조건을 반영했는지 확인하세요.

다음 시험 대비 학습 순서

1. 직선의 평행·수직과 거리·내분·무게중심 공식을 복습하고, 그림의 점 순서와 좌표를 함께 표시하세요(1·4·6·7번 대비).
2. 방정식은 허근의 관계와 거듭제곱 정리, 공통부분 치환을 연습하고 마지막에 원래 변수로 되돌리는 과정을 쓰세요(2·3·18번 대비).
3. 부등식은 제한된 구간, 주어진 해집합, 전체 실수 범위를 구별하고 계수의 부호에 따른 분류를 정리하세요(5·8·9·19번 대비).
4. 정점을 지나는 직선과 넓이 분할 문제를 연결해 풀고, 교점이 실제 선분 위에 놓이는 조건을 확인하세요(10·13번 대비).
5. 원의 접선과 거리의 극값을 중심·반지름으로 설명하고 원 안팎의 위치에 따라 최단 거리가 달라지는 이유를 익히세요(11·15·16·20번 대비).
6. 외접원·무게중심·내접원을 결합한 좌표 문제를 풀며, 길이와 넓이로 얻은 정보를 좌표식으로 옮기는 근거를 정리하세요(14·17번 대비).