상문고등학교
2022년 2학년 1학기 중간고사

상문고 2학년 1학기 중간 수학I은 어떤 시험인가

상문고등학교는 서울 서초구에 있습니다. 이번 시험에서 확인되는 범위는 지수와 로그의 기본 성질, 지수함수와 로그함수, 삼각함수와 그 그래프, 지수로그함수활용입니다. 지수법칙과 각의 변환을 적용하는 기본형에서 역함수와 도형을 결합한 유형까지 다룹니다.

계산에 앞서 문제를 어떤 형태로 바꿀지 선택해야 합니다. 반복되는 로그는 하나의 문자로 치환하고, 같은 값으로 주어진 지수식은 공통값을 정해 밑을 변환합니다. 삼각방정식은 주기와 그래프로 읽고, 역함수 문제는 원래 함수와의 대칭 관계를 먼저 파악하는 편이 좋습니다.

서술·단답형도 난도가 고르게 같지는 않습니다. 16번은 좌표를 이용한 삼각함수의 정의, 17번은 증가함수와 역함수의 교점이 중심입니다. 반면 18·20번은 점근선이나 원과의 교점까지 연결되므로, 후반 번호라는 이유로 한꺼번에 미루지 말고 출발점이 보이는 문항부터 확보하세요.

난이도 분포 — 초반의 조건 처리와 후반의 그래프 결합

쉬움으로 분류된 1·16번은 각의 변환과 좌표에 따른 삼각함수의 정의를 확인합니다. 보통 문항에서는 로그의 밑과 진수 조건, 거듭제곱근의 지수 표현, 역수 형태의 지수식, 일정 비율의 증가, 역함수 교점이 등장합니다. 기본형에서도 조건을 먼저 적어야 계산을 안정적으로 마칠 수 있습니다.

4~6번에서 어려움 문항이 연이어 나타나지만 7번은 보통으로 분류됩니다. 이후에도 12번과 17번에서 접근 가능한 기본 구조를 찾을 수 있습니다. 번호 순서가 곧 난도 순서는 아니므로, 한 문제에서 치환이 떠오르지 않을 때는 다음 문제의 핵심 개념을 확인하며 진행하세요.

13~15번과 18~20번은 그래프의 성질을 다른 조건과 연결하는 부담이 큽니다. 이 난도는 모두 자동 분류 기준이며 응시자의 체감과 일치한다고 단정할 수 없습니다. 실제 대비에서는 식을 세우는 시간과 경계·중복을 검사하는 시간을 함께 확보하는 것이 중요합니다.

출제 단원 — 삼각함수 기본에서 역함수와 교점 해석까지

삼각함수는 출제 비중이 가장 크면서 접근 방식도 다양합니다. 1·16번의 정의와 기본 성질에서 5번의 부호, 8번의 이차방정식 해석, 10번의 동경 대칭으로 이어집니다. 각 변환 공식을 외우는 것에 더해 사분면과 치환 범위를 직접 설명할 수 있어야 합니다.

로그함수와 삼각함수그래프는 자동 분류 기준 모두 어려움에 해당합니다. 특히 18번은 분류상 삼각함수그래프이지만 로그함수의 역함수와 탄젠트 점근선을 함께 다룹니다. 단원명만 보고 풀이 도구를 제한하지 말고, 문제 안의 함수들이 어떤 성질로 연결되는지 확인하세요.

지수와 로그의 기본 성질은 활용 문항의 준비 단계이기도 합니다. 9번의 공통값과 밑 변환, 17번의 역함수 교점, 13·14번의 구간별 그래프를 연결해 복습하세요. 개별 함수의 증가·감소와 치역을 알아야 여러 조각을 합친 함수에서도 조건을 유지할 수 있습니다.

문항별 정리

주의 문항 — 분석상 고난도 문항 3개

이 문항들은 이용자 투표에 따른 난도 순위가 아니라 조건을 연결하는 구조를 근거로 고른 분석상 고난도 문항입니다. 공통적으로 개별 식의 계산보다 전체 그래프의 치역, 중복, 대칭축과의 관계를 먼저 정리해야 합니다. 계산을 시작하기 전 어떤 경우를 나눌지 짧게 적는 연습이 도움이 됩니다.

시간 배분과 놓치기 쉬운 조건

첫 풀이에서는 기본 구조가 보이는 문항을 우선 처리하세요. 4~6번에서 정체되면 7번과 12번을 확인하고, 서술·단답형의 16·17번도 살펴보세요. 19번은 객관식이므로 후반을 모두 같은 형식으로 생각하지 않도록 주의해야 합니다. 고정된 분 단위 배분보다 연습에서 실제로 오래 걸린 단계를 기록해 순서를 조정하세요.

서술·단답형에서는 식보다 근거를 먼저 짧게 적어 두세요. 16번은 원점과 점 사이의 거리 및 좌표의 부호, 17번은 증가함수와 역함수의 교점 성질이 출발점입니다. 18번은 점근선 위치를 정수 조건으로 바꾸는 이유를 쓰고, 20번은 대칭축 위와 밖의 교점을 구분한 그림을 남기면 풀이의 흐름을 유지하기 좋습니다.

마지막 검토에서는 정의 조건과 경계를 우선 확인하세요. 2번은 밑에서 제외되는 값과 진수의 양수 조건, 5번은 근호와 절댓값의 부호, 11번은 탄젠트가 정의되지 않는 각이 핵심입니다. 14번의 구간 끝점, 15번의 중복근, 19번의 절댓값에 따른 분기도 함께 점검하세요.

다음 시험 대비 학습 순서

1. 삼각함수의 정의와 각 변환부터 정리하세요. 사분면으로 부호를 먼저 정하고 근호·절댓값을 처리하는 연습을 연결하세요(1·5·10·16번 대비).
2. 거듭제곱근을 지수로 바꾸고 반복되는 식을 치환하세요. 공통값과 밑 변환을 쓰는 경우에는 새 문자의 범위도 함께 적으세요(3·4·6·7·9번 대비).
3. 로그의 정의 조건과 일정 비율의 증가 모형을 복습하세요. 증가율을 곱셈 인자로 바꾸고 기준이 되는 양을 구별하세요(2·12번 대비).
4. 삼각방정식은 주기와 정의역을 표시한 뒤 풀어 보세요. 치환 범위와 서로 다른 근의 중복 검사까지 한 묶음으로 연습하세요(8·11·15번 대비).
5. 함수와 역함수의 대칭, 점근선의 방향, 교점의 좌표 관계를 그림으로 정리하세요. 절댓값이 있으면 구간을 먼저 나누세요(17·18·19번 대비).
6. 구간별 함수의 치역과 일대일 조건을 정리한 뒤 원이나 넓이 조건을 결합하세요. 대칭축 위의 경계 상황을 따로 검사하는 연습으로 마무리하세요(13·14·20번 대비).