상문고등학교
2025년 2학년 1학기 기말고사

상문고 2학년 1학기 기말 수학I은 어떤 시험인가

상문고등학교는 서울 서초구에 있습니다. 이번 자료에서 확인되는 출제 범위는 등차등비수열, 삼각함수활용, 수열의합, 수학적귀납법입니다. 수열의 기본 성질과 합의 계산뿐 아니라 삼각형의 길이·넓이 및 외접원으로 개념을 확장하는 시험입니다.

수열 문제는 일반항이나 합 공식에 바로 대입하는 유형에 머물지 않습니다. 조를 나누는 방법을 수열로 표현하거나, 삼각방정식의 해를 수열로 보고 합 조건을 적용하는 문항이 있습니다. 주어진 상황에서 무엇이 항에 해당하는지 정리하는 단계가 풀이의 출발점입니다.

도형 문제에서는 사인법칙과 코사인법칙을 차례로 쓰는 일이 중요합니다. 넓이의 비를 밑변의 비로 바꾸거나 원에 내접한 도형의 각을 연결해야 하는 문항도 있습니다. 수열과 도형을 따로 복습한 뒤 두 개념을 함께 쓰는 문제로 넘어가면 조건 사이의 연결을 익힐 수 있습니다.

난이도 분포 — 중간의 경우 구분과 후반의 개념 결합

쉬움으로 분류된 1~4번은 등차중항, 사인법칙, 거듭제곱의 합, 시그마의 성질을 확인합니다. 공식을 기억하는 것과 함께 필요한 항을 빠짐없이 넣는 정확도가 중요합니다. 특히 시그마 안의 상수항은 합의 범위에 맞춰 반복해서 더해진다는 점을 확인하세요.

보통 문항에서는 개념을 연결하는 단계가 늘어납니다. 6번은 조 편성의 중복을 처리한 뒤 합을 계산하고, 11번은 넓이 관계를 변의 길이 관계로 바꿉니다. 18번도 좌표에서 수열을 얻은 다음 합을 정리하므로, 보통이라는 분류를 단순 계산 문제라는 뜻으로 받아들이지 마세요.

어려움 문항은 끝부분에만 있지 않습니다. 7번에서 첫째항의 예외와 절댓값 조건이 등장하고, 13~15번에서는 도형의 닮음, 그래프의 대칭성, 점화식의 역추적을 다룹니다. 이 분포는 자동 분류 기준이며 실제 체감 난도는 다를 수 있으므로, 막힌 문항 뒤의 접근 가능한 문제를 계속 확인하는 운영이 필요합니다.

출제 단원 — 등차등비수열 중심의 조건 해석

가장 많은 등차등비수열은 중항과 일반항의 기본형부터 절댓값, 정수성, 삼각함수 그래프와의 결합까지 다룹니다. 같은 단원에서도 1번의 항 사이 관계와 20번의 부분합 대소 비교는 필요한 판단이 다릅니다. 공차나 공비를 구한 뒤 원래 조건을 다시 검사하는 습관이 중요합니다.

삼각함수활용은 단순한 변의 길이 계산에서 넓이와 외접원으로 이어집니다. 9번은 사인으로 된 조건을 변의 관계로 바꾸고, 13번은 원 위의 각과 닮음을 거쳐 반지름에 접근합니다. 19번은 등차등비수열로 분류되어 있지만 도형의 넓이도 함께 다루므로 단원 이름만 보고 필요한 공식을 제한하지 마세요.

수열의합에서는 거듭제곱의 합과 시그마의 선형성 외에 항이 소거되는 구조가 중요합니다. 10번은 홀수·짝수 첨자의 차를, 18번은 유리화와 부분분수 형태를 활용합니다. 수학적귀납법 단원도 15번의 점화식 분석과 17번의 등식 증명처럼 접근 방식이 다르므로 따로 연습하세요.

문항별 정리

주의 문항 — 분석상 고난도 문항 3개

이 문항들은 자동 분류 기준 어려움 중 풀이 구조를 근거로 고른 분석상 고난도 문항이며, 이용자 투표로 확인된 순위는 아닙니다. 공통점은 경우 구분의 기준을 먼저 정해야 한다는 것입니다. 계산 전에 높이·홀짝·부호 중 무엇으로 나눌지 적고, 얻은 후보를 처음 조건에 대조하세요.

시간 배분과 놓치기 쉬운 조건

첫 풀이에서는 1~4번의 기본 개념을 정확히 처리하고, 중간에 계산이 길어지는 문항은 표시해 두세요. 7번에서 막혔다고 8~12번까지 미룰 필요는 없습니다. 13~15번에서 접근이 보이지 않으면 뒤의 16~18번을 확인하고 돌아오는 순서를 연습해 보세요.

서술·단답형으로 분류된 16·20번은 근거를 문장과 식으로 연결할 시간을 확보하세요. 16번에서는 정사각형과 삼각형의 위치 관계에서 각의 관계를 얻는 이유가 중요합니다. 20번에서는 부호별 분류, 부분합의 대소 비교, 후보의 조건 확인을 순서대로 남겨야 누락을 줄일 수 있습니다.

마지막 검토에서는 긴 계산보다 조건 누락을 먼저 살피세요. 7번은 첫째항을 별도로 확인했는지, 9번은 예각 조건으로 부호를 정했는지, 12번은 공차의 정수성을 반영했는지 점검하세요. 18번의 소거 합은 남는 처음과 끝 항을, 19번의 넓이는 길이의 닮음비를 그대로 적용하지 않았는지 확인하는 것이 좋습니다.

다음 시험 대비 학습 순서

1. 등차중항과 등비중항을 각각 식으로 표현하고 일반항·합 공식을 복습하세요. 두 조건을 연립했을 때 나오는 후보를 모두 비교하세요(1·5·8번 대비).
2. 시그마의 성질과 거듭제곱의 합을 정리하세요. 합의 시작 위치와 상수항의 반복 횟수를 표시한 뒤 계산하세요(3·4·6번 대비).
3. 사인법칙과 코사인법칙을 함께 연습하세요. 변과 대각을 표시하고 넓이의 비, 원 위의 각, 정사각형의 각 관계로 확장하세요(2·9·11·13·16번 대비).
4. 부분합에서 일반항을 얻을 때 첫째항을 따로 확인하고, 절댓값과 정수 조건으로 가능한 경우를 좁히세요. 항과 부분합의 대소도 구별하세요(7·12·20번 대비).
5. 그래프의 교점을 해의 수열로 해석하는 연습을 하세요. 주기와 대칭성으로 항의 간격을 정한 뒤 합 조건을 연결하세요(14번 대비).
6. 점화식에서는 홀짝에 따른 변화와 역추적을, 귀납법에서는 첫 단계 확인과 다음 단계로의 연결을 구분해 정리하세요(15·17번 대비).
7. 소거되는 합과 도형 속 등비 구조를 복습하세요. 유리화·부분분수 뒤 남는 항을 적고, 도형에서는 길이의 비와 넓이의 비를 구별하세요(10·18·19번 대비).