이화여자고등학교
2022년 2학년 1학기 중간고사

이화여자고 2학년 1학기 중간 수학I은 어떤 시험인가

이화여자고등학교는 서울 중구에 있습니다. 이번 자료에서 확인되는 출제 범위는 지수, 로그, 지수함수, 로그함수, 삼각함수, 삼각함수그래프입니다. 거듭제곱근과 로그의 성질에서 출발해 방정식의 근, 그래프의 교점, 합성함수의 범위까지 연결됩니다.

기본 문항에서는 지수법칙과 밑의 변환을 정확히 적용하는지가 중요합니다. 이후에는 같은 계산 도구를 정수 조건이나 그래프 조건에 맞게 바꾸어 사용해야 합니다. 특히 함수의 증가·감소와 정의역을 먼저 정리하면 불필요한 계산을 줄일 수 있습니다.

후반부는 하나의 변형으로 끝나지 않는 구성이 두드러집니다. 치환한 변수의 범위를 정하고, 그래프의 위치나 교점 수를 판단한 뒤 원래 조건으로 돌아와야 합니다. 서술·단답형도 계산식만 이어 쓰기보다 범위를 정한 이유와 경우를 나눈 기준을 함께 적는 연습이 필요합니다.

난이도 분포 — 후반의 그래프 해석과 범위 검토

자동 분류 기준 쉬움 문항은 1~4번, 8번, 17번입니다. 거듭제곱근, 지수함수의 최대·최소, 로그의 성질과 같은 기본 개념을 확인합니다. 다만 8번은 부채꼴의 둘레를 넓이의 식으로 바꾸어야 하고, 17번은 일정한 비율의 증가를 누적 모형으로 표현해야 하므로 조건을 읽는 과정은 생략할 수 없습니다.

보통 문항인 5·6·7·9·12번에서는 정수 조건이나 그래프의 특징을 수학적 조건으로 옮깁니다. 9번은 점근선 간격으로 주기를 읽는 문제이고, 12번은 근호가 자연수가 되는 조건을 소인수의 지수로 표현하는 문제입니다. 외운 공식이 어떤 조건에 연결되는지까지 익혀 두세요.

10·11번 이후 12번을 거쳐 13~16번에서 어려움 문항이 이어집니다. 서술·단답형에서도 17번 뒤의 18~20번이 어려움으로 분류되어 있습니다. 이는 자동 분류 기준이며 실제 체감 난도를 확정하는 자료는 아닙니다. 번호가 뒤라는 이유로 일괄적으로 미루기보다 각 문항의 첫 접근이 보이는지 확인하세요.

출제 단원 — 삼각함수그래프와 지수함수의 연결

삼각함수그래프는 주기와 점근선을 읽는 9번에서 출발해 교점의 대칭성, 방정식·부등식, 합성함수의 범위로 확장됩니다. 그래프를 단순한 그림으로 보지 말고 해의 위치와 좌표 사이의 관계를 제공하는 도구로 사용해야 합니다. 특히 10·18번은 모든 교점의 좌표를 개별적으로 구하려 하면 풀이가 길어집니다.

지수는 근호 계산과 대소 비교뿐 아니라 정수·자연수 조건까지 포함합니다. 지수함수는 3번의 단조성에서 13번의 원과의 만남, 15번의 양의 근 조건, 19번의 절댓값 그래프로 이어집니다. 치환을 했다는 사실보다 치환 뒤 어떤 값만 허용되는지에 주목하세요.

로그와 로그함수에서는 밑의 변환, 정수 조건, 실생활 증가 모형, 사분면과 구간별 최대·최소가 출제됩니다. 7번은 정의역과 감소성을 연결해야 하고, 16번은 지수함수와 로그함수로 나뉜 그래프를 함께 봐야 합니다. 단원별 계산 연습 뒤에는 구간과 경계 조건을 붙인 문제로 확장하는 편이 좋습니다.

문항별 정리

주의 문항 — 분석상 고난도 문항 3개

이 문항들은 이용자 투표로 확인된 난도 순위가 아니라 조건 처리의 구조를 근거로 고른 분석상 고난도 문항입니다. 공통점은 변형 이후에 새로운 범위가 생긴다는 것입니다. 치환 전후의 범위와 그래프의 경계를 풀이 옆에 적어 두면 계산이 맞아도 조건을 놓치는 실수를 줄일 수 있습니다.

시간 배분과 놓치기 쉬운 조건

첫 풀이에서는 기본 계산과 단조성으로 접근할 수 있는 문제를 먼저 정리하세요. 10·11번에서 풀이가 길어지면 표시한 뒤 12번과 서술·단답형 17번도 확인하는 편이 좋습니다. 모든 객관식을 끝내야 서술형으로 넘어간다는 순서를 고정하지 말고, 모의 풀이에서 자신이 빠르게 출발할 수 있는 유형을 파악하세요.

그래프 문항에서는 계산 전에 간단한 스케치를 남기세요. 10·18번은 대칭축과 해가 놓인 구간을 표시하면 개별 해를 구하는 수고를 줄일 수 있습니다. 19번은 그래프의 접힌 부분과 점근선을 먼저 표시하고, 20번은 안쪽 함수의 치역을 적은 뒤 바깥 함수로 넘어가세요. 서술형에서는 이 짧은 준비가 판단 근거를 쓰는 데에도 도움이 됩니다.

마지막 검토는 경계와 부호에 집중하세요. 4·7번은 로그의 밑과 진수 조건, 11번은 사분면에 따른 부호, 14번은 치환된 구간의 끝점 포함 여부가 중요합니다. 15번은 서로 다른 실근 조건과 양의 근 조건을 구분하고, 16번은 각 경우에서 얻은 후보가 그 경우의 범위에 들어가는지 확인하세요.

다음 시험 대비 학습 순서

1. 거듭제곱근과 지수법칙을 복습하고 같은 밑으로 표현하는 연습을 하세요. 음수의 근호와 음의 지수에서 부호가 달라지는 지점을 표시하세요(1·2·5번 대비).
2. 로그의 성질로 식을 합친 뒤 정수 조건과 증가 모형으로 연결하세요. 일정한 비율로 늘어나는 상황을 단순한 덧셈으로 처리하지 않도록 설명해 보세요(4·6·17번 대비).
3. 자연수 조건을 소인수 지수의 조건으로 바꾸고, 삼각함수의 부호와 동경 관계를 정리하세요. 후보를 만든 뒤 원래 범위로 거르는 연습을 하세요(11·12번 대비).
4. 함수의 단조성과 정의역을 먼저 적고 그래프를 그리세요. 부채꼴은 길이 조건을 넓이의 식으로 옮기고, 함수는 사분면·교점 조건으로 확장하세요(3·7·8·13번 대비).
5. 삼각함수의 주기·대칭성과 각 변환을 묶어 연습하세요. 방정식과 부등식을 풀 때는 치환한 각의 범위를 함께 옮기세요(9·10·14·18번 대비).
6. 지수 치환 뒤 양수 조건과 절댓값 그래프의 교점 수를 점검하세요. 근의 존재 조건을 구한 후 원래 변수의 해와 어떻게 대응하는지 설명하세요(15·19번 대비).
7. 이동하는 구간의 최대·최소와 합성함수의 치역 전달을 연습하세요. 범위를 나누는 기준과 끝점 비교를 생략하지 않고 풀이로 작성하세요(16·20번 대비).