상문고등학교
2025년 2학년 1학기 중간고사

상문고 2학년 1학기 중간 수학I은 어떤 시험인가

상문고등학교는 서울 서초구에 있습니다. 이번 자료에서 확인되는 출제 단원은 지수, 로그, 지수함수, 로그함수, 삼각함수, 삼각함수그래프입니다. 기본 계산법뿐 아니라 함수의 이동과 대칭, 제한된 구간에서의 부등식과 최대최소까지 연결되는 범위입니다.

초반에는 특수각, 지수함수의 증가성, 거듭제곱근 같은 기본 개념을 확인합니다. 이어 로그식의 치환, 밑의 변환, 상용로그의 정수부분과 소수부분을 다루고, 후반에는 여러 조건으로 그래프의 모양이나 가능한 매개변수를 제한합니다. 공식을 기억하는 것과 공식을 적용할 수 있는 범위를 아는 것이 함께 필요합니다.

삼각함수그래프가 중요한 축이지만 마지막 객관식은 지수함수와 로그식의 합성 구조입니다. 삼각함수만 집중해서 준비하면 후반의 다른 유형에 대응하기 어렵습니다. 서술·단답형도 부채꼴의 넓이, 로그부등식, 삼각함수의 최대최소로 나뉘므로 계산 과정의 근거를 단원별로 설명하는 연습이 필요합니다.

난이도 분포 — 중후반에 이어지는 그래프 조건 해석

쉬움은 1·2·3·5·16번입니다. 3번에서도 탄젠트가 정의되지 않는 지점을 제외해야 하고, 16번은 거듭제곱근의 성질을 적용할 수 있는 조건을 확인해야 합니다. 자동 분류 기준 쉬움이라는 이유로 정의나 부호 점검을 생략하면 안 됩니다.

보통은 4·6·7·8·9·10·17·18번입니다. 로그의 밑을 통일하거나 동경의 대칭을 각의 관계로 바꾸는 등, 계산을 시작하기 위한 표현 변환이 필요합니다. 특히 18번은 그래프에서 얻은 구간에 진수 조건을 다시 겹쳐야 하므로 부등식 계산과 정의역 검사를 구분해서 적는 편이 좋습니다.

11~15번에는 자동 분류 기준 어려움이 연속됩니다. 여기서 풀이가 길어져도 16~18번을 확인할 시간을 남기세요. 19·20번도 어려움으로 분류되어 있으나 서로 요구하는 구조가 다릅니다. 난이도 표는 자동 분류 기준이며 실제 응시자의 체감이나 문항 간 세부 순위를 나타내지는 않습니다.

출제 단원 — 삼각함수그래프의 비중과 조건 결합

삼각함수그래프는 3·11·12·14·15·19번입니다. 탄젠트 부등식의 기본형에서 출발해 절댓값 그래프의 교점, 지수·로그 조건이 섞인 삼각부등식, 주기와 실근 개수, 구간별 최대최소로 확장됩니다. 주기만 외우기보다 어디서 그래프를 나누고 어떤 값이 실제로 가능한지 판단하는 연습이 중요합니다.

로그함수는 4·10·13·18번입니다. 방정식의 치환, 그래프 이동 후 좌표 해석, 지수함수와의 관계, 감소하는 밑의 부등식이 고르게 나타납니다. 로그 단원의 7·8·9번에서 밑의 변환과 로그의 성질을 정확히 정리한 뒤 함수 문제로 넘어가면 계산 부담을 줄일 수 있습니다.

지수와 삼각함수의 기본형도 후반 문제의 토대입니다. 5·16번의 실수 범위 점검은 식 변형의 전제 조건을 확인하는 훈련이고, 1·6·17번은 각의 관계와 도형을 연결합니다. 지수함수는 2번의 증가성에서 20번의 절댓값 그래프와 실근 개수로 이어집니다.

문항별 정리

작년 시험과 비교 — 어려움은 줄고 보통 구간은 확대

작년과 올해는 모두 수학I이며 총 문항 수는 같습니다. 자동 분류 기준 어려움은 8문항에서 7문항으로 줄었지만 쉬움도 9문항에서 5문항으로 줄고 보통은 3문항에서 8문항으로 늘었습니다. 어려움의 감소만으로 시험 전체가 수월해졌다고 판단하기보다, 기본 개념을 연결해 처리해야 하는 구간이 넓어졌다고 읽는 편이 적절합니다.

공통 단원 중 삼각함수그래프는 5문항에서 6문항으로 늘었고, 지수함수는 4문항에서 2문항으로 줄었습니다. 로그와 삼각함수는 각각 4문항에서 3문항으로, 지수는 2문항으로 유지되었습니다. 올해는 로그함수가 별도 분류되어 있으므로 작년 로그 문항과 단순히 합쳐 비중의 증감을 단정하지 않는 것이 좋습니다.

작년의 어려움은 12~16번과 18~20번에 있었고 올해는 11~15번과 19·20번입니다. 올해는 어려움이 조금 앞에서 시작되고 16번에서 기본 개념으로 돌아옵니다. 대비할 때는 어려운 문제를 연속해서 푸는 연습과 함께, 뒤에 있는 접근 가능한 문제를 찾아 풀이 순서를 바꾸는 연습도 하세요.

주의 문항 — 분석상 고난도 문항 3개

이 문항들은 이용자 투표에 따른 난도 순위가 아니라 조건 처리의 복잡성을 근거로 고른 분석상 고난도 문항입니다. 공통점은 식을 정리하는 것만으로 풀이가 끝나지 않는다는 데 있습니다. 그래프를 나눌 기준, 가능한 값의 범위, 경계에서의 예외를 먼저 표기하면 불필요한 계산을 줄일 수 있습니다.

시간 배분과 놓치기 쉬운 조건

첫 풀이에서는 기본 계산과 변환이 보이는 문제를 먼저 처리하세요. 11~15번에서 교점이나 경우 분류가 길어지면 현재까지 확인한 조건만 남기고 다음 문제로 이동하는 연습이 필요합니다. 16번은 자동 분류 기준 쉬움이고 17·18번은 보통이므로 앞의 어려움 구간에 시간을 모두 쓰지 않는 것이 중요합니다.

서술·단답형에서는 결론에 앞서 근거를 남기세요. 17번은 반지름이 유리수라는 조건으로 항을 비교하는 이유와 넓이의 분할을, 18번은 로그의 진수 조건과 부등호 방향을, 19번은 치환 변수의 범위와 이차함수 축의 위치에 따른 분류를 적어야 합니다. 풀이를 짧게 쓰더라도 어떤 조건에서 다음 식이 나오는지는 드러나게 하세요.

마지막 검토는 정의되지 않는 값과 경계를 중심으로 하세요. 3번의 탄젠트, 12·18번의 로그는 식 변형 전에 허용 범위를 확인해야 합니다. 16번은 짝수차 근호의 실수 조건, 19번은 경우별로 구한 후보의 적합성, 20번은 점근선에 가까워지는 것과 실제로 만나는 것의 차이를 확인하세요.

다음 시험 대비 학습 순서

1. 특수각과 거듭제곱근의 정의부터 정리하세요. 짝수차·홀수차, 부호에 따라 실수 범위에서 무엇이 허용되는지 설명해 보세요(1·5·16번 대비).
2. 로그의 밑의 변환과 지수식의 로그 표현을 묶어 연습하세요. 역수와 음수 부호를 정리한 뒤 공통 밑으로 통일하는 순서를 익히세요(7·8·9번 대비).
3. 지수·로그함수의 증가와 감소, 치환, 이동과 대칭을 복습하세요. 진수 조건을 먼저 쓰고 좌표와 넓이 조건으로 연결하세요(2·4·10·13·18번 대비).
4. 동경의 대칭과 부채꼴의 길이·넓이를 각의 범위와 함께 연습하세요. 도형을 식으로 바꿀 때 필요한 조건을 말로 설명하세요(6·17번 대비).
5. 삼각부등식은 정의역과 부호를 먼저 표시하고, 절댓값과 주기가 있는 그래프는 구간별로 그리세요. 교점 개수의 근거를 덧붙이세요(3·11·12·14번 대비).
6. 최대최소와 합성방정식의 경우 분류를 마무리하세요. 치환 변수의 범위, 축의 위치, 수평선 높이에 따른 교점 수를 표로 정리하세요(15·19·20번 대비).