상문고등학교
2022년 2학년 1학기 기말고사

상문고 2학년 1학기 기말 수학I은 어떤 시험인가

상문고등학교는 서울 서초구에 있습니다. 이 시험에서 확인되는 출제 범위는 등차등비수열, 삼각함수활용, 수학적귀납법, 수열의합입니다. 수열에서는 일반항과 합의 공식뿐 아니라 귀납적 정의와 합으로 표현된 조건을 해석하는 능력까지 요구합니다.

삼각함수활용은 사인법칙과 코사인법칙을 직접 적용하는 문제에서 시작해 최솟값, 수선의 교점, 내접원과 자연수 조건으로 확장됩니다. 수열도 규칙적인 도형의 넓이나 항의 삭제처럼 상황을 먼저 수열로 표현해야 하는 문제가 있습니다. 공식을 아는 것과 어떤 대상에 적용할지 정하는 것을 함께 연습하세요.

후반에서는 한 번의 공식 대입으로 풀이가 끝나지 않습니다. 조건을 정리한 뒤 필요한 관계를 만들고, 그 관계가 성립하는 범위와 예외를 확인해야 합니다. 서술·단답형은 증명의 시작과 끝, 나눗셈의 근거, 합의 소거 과정을 다른 사람이 따라갈 수 있도록 쓰는 연습이 필요합니다.

난이도 분포 — 객관식 후반에 이어지는 조건 변환

쉬움으로 분류된 1~3번은 등비수열의 공비와 일반항, 등차수열의 항 사이 간격, 부분합의 관계를 확인합니다. 이 구간은 복잡한 전개보다 항 번호와 묶음의 의미를 정확히 읽는 것이 중요합니다. 기본형을 빠르게 풀되 합과 개별 항을 혼동하지 않도록 표시하세요.

보통 문항은 4~8번과 16번입니다. 로그가 포함된 점화식, 삼각형의 변과 각, 도형에서 반복되는 넓이, 귀납법 증명 등 접근법이 서로 다릅니다. 특히 16번은 객관식 후반의 어려움 구간 다음에 있으므로, 앞 문제에 시간이 걸려도 서술형 전체를 미루지는 않는 편이 좋습니다.

9~15번은 연속해서 어려움으로 분류되며 17~20번에서도 같은 분류가 이어집니다. 이 난이도는 자동 분류 기준이고 실제 응시자의 체감 난도를 뜻하지는 않습니다. 다만 식의 형태를 바꾸거나 도형과 수열을 연결해야 하는 구성이므로, 첫 관계식을 잡는 데 걸리는 시간을 줄이는 훈련이 유효합니다.

출제 단원 — 수열의 구조와 삼각형 해석의 결합

등차등비수열은 기본 항 계산에서 묶음의 합, 반복 도형, 항을 삭제한 수열, 두 종류의 수열 조건을 결합하는 문제까지 이어집니다. 10번은 남은 항을 묶는 기준을 찾는 일이 중요하고, 18번은 삽입한 수의 개수와 실제 간격의 개수를 구별해야 합니다. 같은 단원의 기본형을 익힌 뒤 표현이 달라진 문제로 확장하세요.

삼각함수활용에서는 5~7번의 법칙 적용을 바탕으로 9번의 부등식, 15번의 원과 수선, 19번의 접선과 정수 조건을 연결합니다. 수학적귀납법으로 분류된 문제도 모두 증명형은 아닙니다. 4·11·12번은 귀납적으로 주어진 수열의 관계를 정리하고, 14번은 가능한 값을 조건에 맞게 나누어 살피는 접근이 필요합니다.

수열의합은 13·17·20번이 모두 자동 분류 기준 어려움입니다. 가중치가 붙은 합, 분수 꼴의 일반항, 삼각형 해석으로 얻은 식을 각각 계산 가능한 형태로 바꾸어야 합니다. 항을 처음부터 끝까지 계산하기보다 무엇을 빼면 없어지는지, 어떤 부분을 따로 합할 수 있는지 먼저 찾아보세요.

문항별 정리

주의 문항 — 분석상 고난도 문항 3개

이 문항들은 이용자 투표로 확인된 난도 순위가 아니라 조건 처리의 복잡성을 바탕으로 고른 분석상 고난도 문항입니다. 공통점은 원래 표현과 실제 계산에 쓰는 표현이 다르다는 데 있습니다. 풀이 첫머리에 분류 기준이나 보조선의 목적을 적어 두면 중간 계산이 길어져도 방향을 유지하기 쉽습니다.

시간 배분과 놓치기 쉬운 조건

첫 풀이에서는 1~8번에서 구조가 바로 보이는 문항을 처리하고, 9번 이후는 풀이의 출발점이 떠오르는지 확인하세요. 객관식 후반을 모두 마친 뒤 서술·단답형으로 넘어가면 16번의 증명까지 시간이 부족해질 수 있습니다. 막힌 문항에는 필요한 아이디어를 짧게 표시하고, 전체를 훑은 뒤 다시 돌아오는 연습을 권합니다.

서술형 연습에서는 계산과 근거를 함께 남기세요. 16번은 최초 단계의 확인과 귀납 가정을 구분하고, 다음 단계에서 추가되는 항을 정확히 써야 합니다. 18번은 삽입한 수보다 간격이 하나 더 많다는 점과 약분하는 인수가 영이 아니라는 근거가 중요합니다. 19번은 자연수 조건으로 후보를 제한하는 과정을 생략하지 마세요.

마지막 검토는 문제마다 다른 조건에 집중하세요. 6번은 삼각형 내각의 범위, 9번은 부등식의 등호 성립 가능성, 12번은 양수 조건을 확인해야 합니다. 14번은 경계와 빠진 경우, 20번은 각의 범위와 합의 양 끝항을 점검하세요. 모든 식을 다시 계산하기보다 처음 사용한 조건이 마지막까지 유지되는지 확인하는 편이 효율적입니다.

다음 시험 대비 학습 순서

1. 등차·등비수열의 일반항과 합을 복습하세요. 항 번호의 차이와 항의 개수를 구별하고 같은 길이의 묶음으로 부분합을 해석하세요(1·2·3번 대비).
2. 반복 상황을 수열로 나타내세요. 개수의 변화와 넓이의 변화를 분리하고, 항을 삭제했을 때 원래 번호와 새 번호를 대응시키세요(8·10번 대비).
3. 사인법칙과 코사인법칙의 적용 대상을 먼저 표시하세요. 변의 비, 외접원, 부등식의 등호 조건까지 연결해 보세요(5·6·7·9번 대비).
4. 합을 포함한 수열 조건은 인접한 식을 나란히 쓰고 차를 구하세요. 처음 항을 따로 확인하고 양수 조건으로 가능한 관계를 결정하세요(4·11·12·13번 대비).
5. 귀납법 증명과 조건에 따른 경우 분류를 각각 연습하세요. 증명에서는 가정과 결론을, 경우 세기에서는 기준 위치와 예외를 먼저 적으세요(14·16번 대비).
6. 서술형은 도형의 보조선과 수열의 식 변환을 설명하는 문장까지 써 보세요. 접선 길이의 관계, 간격의 개수, 일반항의 분해, 소거 뒤 남는 항을 점검하세요(15·17·18·19·20번 대비).