관양고등학교
2023년 1학년 2학기 기말고사

관양고 고1 2학기 기말 수학(하)는 어떤 시험인가

관양고등학교는 경기 안양시에 있습니다. 이 시험에서는 함수의 뜻과 일대일대응, 합성함수와 역함수, 유리함수와 무리함수, 순열조합이 출제됐습니다. 함수의 기본 정의에서 출발해 그래프 해석과 조건을 만족하는 경우의 수까지 다룹니다.

초반에는 개념을 정확하게 적용하는 능력을 확인합니다. 평행이동으로 겹치는 그래프를 판별하거나 공역에 속하지 않는 함숫값을 가려내고, 순열과 조합의 기호를 해석합니다. 이 구간에서는 복잡한 풀이보다 무엇이 함수의 조건인지, 선택에 순서가 있는지를 즉시 판단하는 것이 중요합니다.

후반에는 익숙한 개념을 다른 표현으로 바꾸어야 합니다. 대응 조건을 작은 묶음으로 나누어 세거나 그래프의 대칭을 넓이 계산에 연결하고, 중첩된 근호의 값을 정수 후보로 바꿉니다. 서술형에서도 사용한 구간과 최댓값의 성립 조건을 설명할 수 있어야 합니다.

난이도 분포 — 초반 기본형에서 후반 조건 연결로

난이도는 자동 분류 기준입니다. 쉬움인 1~6번에서는 정의와 공식의 의미를 확인하며 풀이 시간을 아끼는 것이 좋습니다. 다만 2번은 식이 주어졌다는 사실만으로 함수라고 판단하면 안 되고, 6번은 일대일대응·항등함수·상수함수의 개수를 구분해야 합니다.

보통 구간에서는 조건을 해석하는 단계가 추가됩니다. 8번은 구간별 기울기로 일대일대응 여부를 판단하고, 11번은 이차함수에서 알아낸 계수의 부호를 무리함수에 옮깁니다. 13번은 교점 좌표의 대칭성을, 15번은 큰 자리부터 비교하는 분류 기준을 잡으면 계산을 정리할 수 있습니다.

12번부터 어려움이 나타나지만 뒤 문항이 모두 같은 수준은 아닙니다. 14번이나 16~18번에서 멈췄다면 보통으로 분류된 19번의 서술 과정을 먼저 확보하는 운영도 가능합니다. 문항 순서에 매달리기보다 풀이 방향이 보이는 문제부터 해결하세요.

출제 단원 — 순열조합과 합성함수·역함수가 중심

순열조합은 단순 배정부터 여사건, 자릿수 비교, 배수 조건까지 이어집니다. 같은 단원이라도 공식을 먼저 고르는 접근만으로는 부족합니다. 10번은 원하지 않는 경우를 빼는 것이 간단하고, 15번은 처음으로 기준보다 커지는 자리를 정해야 중복 없이 셀 수 있습니다.

합성함수와역함수는 식·그래프·유한집합의 대응을 모두 사용합니다. 5번의 대입 관계를 익힌 뒤 9번의 그래프 추적, 14번의 대응표 복원으로 확장하는 순서가 좋습니다. 16번은 역함수의 대칭성을 도형의 넓이에 연결하므로 함수식을 구하는 연습만으로 끝내지 마세요.

무리함수는 기본 개형에서 시작하지만 18번에서는 자연수 조건, 20번에서는 도형의 넓이와 결합합니다. 유리함수는 점근선과 증가·감소를 보는 7번, 교점의 대칭성을 보는 13번으로 그래프의 성질을 확인합니다. 그래프의 위치와 정의역을 식 옆에 함께 기록하는 습관이 여러 단원에 도움이 됩니다.

문항별 정리

같은 지역 학교와 비교 — 안양시의 함수·경우의 수 기말고사

같은 2023학년도 1학년 2학기 기말고사 수학(하)를 치른 안양시 이웃 학교들과 견주면, 관양고의 문항 수는 지역 평균 21.6문항보다 적고 서술·단답형은 평균 1.0문항보다 많습니다. 자동 분류 기준 어려움 비율은 30%로 지역 평균 52%보다 낮으며, 비율 순위는 6개교 중 5위입니다.

이웃 학교들은 모두 순열조합이 가장 많은 단원입니다. 관양고는 순열조합과 합성함수와역함수가 함께 중심을 이루므로, 경우의 수에만 연습 시간을 몰아주지 않는 것이 좋습니다. 특히 그래프에서 대응을 읽고 역방향으로 추적하는 훈련을 함께 배치하세요.

어려움 비율이 낮다는 이유로 후반 문항을 가볍게 보기는 어렵습니다. 관양고 학생은 초반 기본형의 정확성을 높이면서 14·16번의 대응과 대칭, 18·20번의 범위와 최적화에 풀이 시간을 확보하는 방향으로 준비하는 것이 좋습니다.

주의 문항 — 분석상 고난도 문항 3개

세 문항의 공통점은 계산 전에 정리할 대상이 있다는 것입니다. 대응표, 선택 분류표, 넓이 식을 먼저 만들면 다음 계산의 목적이 분명해집니다. 위 문항들은 분석상 고난도 문항이며, 이용자 투표로 가장 어려운 문항이 확인된 것은 아닙니다.

시간 배분과 놓치기 쉬운 조건

처음 풀 때는 1~6번에서 기본 개념을 빠르게 확인하고, 7~11번에서는 그래프와 경우 분류의 방향을 정해 진행하세요. 계산을 시작했는데 무엇을 구하는지 흐려진다면 조건을 짧게 적는 편이 좋습니다. 12번에서 분류가 막힐 경우 표시하고 다음 문항으로 넘어갈 수 있도록 연습하세요.

후반에는 14번의 대응 추적, 17번의 분류, 18번의 후보 검증에 시간이 들 수 있습니다. 객관식을 모두 끝낸 뒤에만 서술형을 보겠다는 계획보다, 19·20번의 풀이 분량을 먼저 확인하고 작성 시간을 남겨 두세요. 19번은 선택한 구간의 근거를, 20번은 넓이 식과 최댓값의 성립 조건을 답안에 담아야 합니다.

마지막 검토는 계산을 처음부터 되풀이하기보다 조건을 확인하는 데 쓰세요. 8번의 기울기와 치역, 15·17번의 숫자 중복과 맨 앞자리, 18번의 합성 정의역과 자연수 여부, 20번의 사분면 제한이 핵심입니다. 조건을 통과하지 못하는 후보는 계산 결과가 자연스러워 보여도 남겨 두면 안 됩니다.

다음 시험 대비 학습 순서

1. 함수의 정의와 대응 종류를 먼저 정리하세요. 입력·출력·공역을 말로 설명하고 일대일대응과 상수함수의 개수를 구분합니다(2·6·8번 대비).
2. 순열과 조합을 고르는 기준을 연습하세요. 배정에는 순서가 있음을 확인하고, 적어도 조건은 여사건으로 바꾸어 봅니다(3·4·10번 대비).
3. 합성함수의 대응을 표와 화살표로 표현하세요. 식의 대입에서 그래프 읽기와 역방향 추적으로 확장합니다(5·9·14·19번 대비).
4. 유리함수와 무리함수의 개형을 직접 그리세요. 시작점·점근선·증가 방향을 표시한 뒤 넓이와 대칭 문제로 연결합니다(1·7·11·13·16번 대비).
5. 경우의 수 분류표를 만드는 연습을 하세요. 입력 쌍, 처음 커지는 자리, 나머지별 선택을 구분하고 중복과 누락을 검토합니다(12·15·17번 대비).
6. 범위를 정한 뒤 후보를 검증하는 서술 훈련을 마무리하세요. 중첩근호의 정수 후보와 도형 넓이의 최대 조건을 각각 설명하고, 시간을 재며 다시 풉니다(18·20번 대비).