원화여자고등학교
2023년 1학년 2학기 기말고사

원화여자고 1학년 2학기 기말 수학(하)은 어떤 시험인가

원화여자고등학교는 대구 달서구에 있습니다. 이 시험은 순열조합과 함수의 기본 성질, 합성함수와 역함수, 유리함수와 무리함수를 다룹니다. 단원별 공식뿐 아니라 식과 그래프, 실제 배치 상황을 오가며 조건을 해석해야 합니다.

앞부분에서는 합의 법칙과 곱의 법칙, 조합, 점근선, 역함수의 함숫값처럼 기본 개념을 직접 활용합니다. 다만 7번 도로망처럼 초반에도 구조를 먼저 파악해야 하는 문제가 있어, 번호 순서만으로 풀이 시간을 예상하기는 어렵습니다.

후반에서는 배치와 대진표의 중복을 따지고, 그래프의 대칭성이나 합성 순서를 활용합니다. 서술·단답형인 22·23번 역시 자동 분류 기준 어려움에 해당합니다. 계산 결과만 적는 연습보다 조건에서 관계식을 만드는 과정을 짧고 명료하게 설명하는 연습이 필요합니다.

난이도 분포 — 후반에 이어지는 어려움 문항

쉬움 문항은 경우의 수의 기본 원리와 함수의 정의를 확인합니다. 특히 8·10번은 역함수의 식을 모두 구하기 전에 입력과 출력의 관계만으로 필요한 값을 찾을 수 있는지 살펴보세요. 짧은 풀이를 선택하는 힘이 후반의 여유로 이어집니다.

보통 문항에서는 개념을 한 번 더 정리해야 합니다. 5번은 지불 방법과 서로 다른 금액을 구별하고, 9번은 조합의 성질을 연결합니다. 13·14번은 역함수의 관계와 일대일대응의 조건을 확인하므로 단순 대입으로만 접근하면 조건을 놓치기 쉽습니다.

어려움 문항은 15번 이후 연속됩니다. 이 구간에서는 도형의 길이와 넓이를 식으로 표현하거나, 조건에 따라 경우와 구간을 나누는 과정이 반복됩니다. 자동 분류 기준 난이도이므로 개인의 체감과는 다를 수 있지만, 후반 풀이 시간을 충분히 남겨야 하는 배치는 분명합니다.

출제 단원 — 순열조합의 비중과 함수의 조건 해석

순열조합은 기본 선택부터 도로망, 줄 세우기, 대진표, 원 위의 삼각형까지 상황이 다양합니다. 같은 곱셈이라도 독립적인 선택을 곱하는지, 순서를 세는지, 같은 대상을 중복해서 세는지에 따라 의미가 달라집니다. 공식을 고르기 전에 세는 대상부터 문장으로 정리하세요.

합성함수와역함수에서는 함숫값 계산과 그래프 구성 사이의 차이가 큽니다. 8·10번의 입력과 출력 관계를 확실히 익힌 다음, 19번의 원함수와 역함수의 교점, 21번의 구간별 합성, 23번의 역합성으로 확장하는 순서가 적절합니다.

유리함수는 점근선과 대칭점을 출발점으로 직선과의 교점, 거리의 합, 대칭축으로 이어집니다. 무리함수도 그래프의 시작점 확인에 그치지 않고 역함수 관계와 도형의 넓이까지 연결됩니다. 그래프를 대략 그린 뒤 식을 세우는 습관이 여러 단원에 함께 도움이 됩니다.

문항별 정리

각 문항은 묻는 개념과 풀이의 출발점, 확인할 조건을 중심으로 정리했습니다. 난이도 표시는 모두 자동 분류 기준입니다.

주의 문항 — 분석상 고난도 문항 3개

이 문항들은 모두 계산에 앞서 구조를 정해야 한다는 공통점이 있습니다. 대진표에서는 같은 경우의 기준, 합성함수에서는 구간의 기준, 역합성에서는 입력 범위가 그 기준입니다. 분석상 고난도 문항으로 선정한 것이며, 이용자 투표로 어려움의 순서가 확인된 것은 아닙니다.

시간 배분과 놓치기 쉬운 조건

처음 풀 때는 기본 개념을 바로 적용할 수 있는 문항부터 안정적으로 확보하세요. 7번에서 도로를 지나는 순서가 보이지 않으면 표시한 뒤 다음 문항으로 이동하는 편이 좋습니다. 12번도 교점 방정식을 길게 전개하기 전에 제한된 구간과 끝점 위치를 그래프로 확인하면 접근을 정리할 수 있습니다.

15번 이후는 자동 분류 기준 어려움 문항이 이어지므로, 모든 문항을 같은 속도로 끝내려는 계획은 피하세요. 서술·단답형 22·23번의 풀이를 적을 시간을 따로 남기고, 막힌 객관식으로 돌아오는 순서를 정해 두세요. 실제 연습에서는 식을 세우는 데 막혔는지 계산에 시간이 들었는지를 구분해 기록하면 보완할 부분이 선명해집니다.

조건 검토는 풀이 마지막에만 하지 말고 식 옆에 함께 적어 두세요. 5번에서는 아무것도 지불하지 않는 경우의 제외, 7번에서는 도로와 교차점의 반복 조건 차이, 14번에서는 치역의 겹침과 누락, 17번에서는 같은 대진의 중복이 중요합니다. 18·19번의 극값이 허용 범위에서 가능한지, 21번의 경계점과 23번의 분모 및 정의역도 확인하세요.

다음 시험 대비 학습 순서

1. 경우의 수의 기본 원리를 구분하세요. 합과 곱, 순서 없는 선택, 소인수 지수의 선택을 각각 설명하고 지불 금액의 중복까지 확장하세요(1·2·4·5·9·11번 대비).
2. 조건부 배치와 중복 처리를 연습하세요. 도로망의 부분별 순서, 기준 대상을 먼저 세운 줄 세우기, 대진표에서 같은 경기 묶음을 판별하는 연습을 묶어 하세요(7·16·17번 대비).
3. 함수의 입력과 출력, 정의역과 치역을 연결하세요. 역함수 관계를 원함수 관계로 바꾸고 일대일대응에서 치역이 겹치거나 빠지는지 확인하세요(8·10·13·14번 대비).
4. 유리함수의 기본형과 그래프를 함께 정리하세요. 점근선과 대칭점에서 출발해 직선과의 교점, 거리의 합, 대칭축 조건으로 확장하세요(3·12·15·22번 대비).
5. 도형의 양을 함수로 바꾸는 연습을 하세요. 무리함수의 시작점과 부호를 확인한 뒤, 점과 직선 사이의 거리로 넓이를 표현하고 범위 안의 극값을 검토하세요(6·18·19번 대비).
6. 복합 조건을 표와 그림으로 정리하세요. 감소 조건이 있는 함수의 개수, 합성함수의 새 경계, 역합성의 입력 범위, 원 위 삼각형의 분류를 설명하는 연습으로 마무리하세요(20·21·23·24번 대비).