운산고등학교
2023년 1학년 2학기 기말고사

운산고 고1 2학기 기말 수학(하)는 어떤 시험인가

운산고등학교는 경기 광명시에 있습니다. 이 시험은 함수의 대응과 역함수, 유리함수와 무리함수, 순열과 조합을 다루며, 곡선의 절편을 직선 조건과 연결하는 문항도 포함합니다. 객관식 17문항과 서술·단답형 3문항으로 구성돼 있습니다.

초반에는 역함숫값 읽기, 순열 계산, 곱의 법칙, 그래프의 평행이동처럼 개념을 바로 적용하는 문제가 배치됐습니다. 중간에는 같은 개념을 식의 변형이나 그래프 해석에 연결합니다. 공식을 기억하는 것에서 출발해, 그 공식을 사용할 조건까지 설명할 수 있는지 점검하는 흐름입니다.

후반에는 함수의 개수와 치역, 구별하지 않는 상자의 분할, 무리함수와 역함수의 교점, 정의역 전체에서 성립하는 부등식이 등장합니다. 특히 마지막 서술형은 역함수가 존재한다는 말을 일대일 대응과 끝값의 조건으로 풀어 써야 하므로, 앞의 단순 역함수 계산과 구분해 준비해야 합니다.

난이도 분포 — 후반 객관식과 마지막 서술형에 집중

난이도는 자동 분류 기준입니다. 쉬움 구간에서는 계산량을 늘리기보다 대응 방향, 이동 부호, 선택과 배열의 차이를 정확히 읽는 것이 우선입니다. 18·19번도 여기에 포함되므로 객관식 후반에 막혔다고 서술형 전체를 미루지 않는 전략이 필요합니다.

보통 구간은 개념을 한 번 더 연결합니다. 7번은 역함수가 들어 있는 식의 경우를 나누고, 9번은 유리함수에서 얻은 절편을 직선 조건에 사용합니다. 12·13번에서는 그래프에서 읽은 정보가 다른 함수나 역함수의 성질로 이어지므로, 식을 정리하기 전에 그림의 정보를 적어 두세요.

14~17번은 서로 다른 단원에서 조건 해석을 요구하는 구간입니다. 20번까지 염두에 두고 풀이가 바로 보이지 않는 문항은 표시해 두는 편이 좋습니다. 문항 위치만 보고 뒤의 문제가 모두 어렵다고 판단하면 먼저 해결할 수 있는 서술형까지 놓칠 수 있습니다.

출제 단원 — 순열조합과 합성함수와역함수가 중심

가장 많은 순열조합은 공식 계산부터 원리 설명, 분할까지 폭이 넓습니다. 2번의 순열 기호, 3번의 곱의 법칙, 8번의 선택 후 배열을 구별하고, 11번에서는 팩토리얼 전개의 의미를 확인합니다. 같은 단원이라도 계산 공식만 반복하는 학습으로는 15번의 중복 처리를 설명하기 어렵습니다.

합성함수와역함수에서는 함숫값을 거꾸로 읽는 기본부터 정의역과 공역을 함께 따지는 조건까지 이어집니다. 유리함수와 무리함수도 평행이동만 따로 공부하기보다 점근선·시작점·치역·역함수를 연결해 보세요. 함수 단원의 14번은 그래프 대신 유한집합의 대응을 세므로, 그래프 문제와는 다른 방식의 조건 정리가 필요합니다.

문항별 정리

같은 지역 학교와 비교 — 경기 지역의 동일 시험

같은 2023학년도 1학년 2학기 기말고사 수학(하)를 치른 경기 지역 학교들과 비교하면, 이웃 학교의 평균 문항 수는 20.7문항, 서술·단답은 2.0문항입니다. 운산고는 20문항으로 전체 분량은 비슷하고 서술·단답은 3문항으로 더 많습니다. 어려움 비율은 자동 분류 기준 25%로 이웃 학교 평균 51%보다 낮으며, 높은 순으로 11개교 중 11위입니다.

가장 많은 단원은 운산고와 다수 학교가 순열조합이고, 분당중앙고등학교는 합성함수와역함수입니다. 이 표의 순위는 어려움 비율에 관한 것이므로 학교별 학습 수준이나 실제 체감 난도를 뜻하지 않습니다. 운산고 대비에서는 기본 문항의 정확도를 먼저 확보하고, 순열조합의 중복 처리와 함수의 조건 해석을 서술하는 훈련으로 연결하는 편이 적절합니다.

주의 문항 — 분석상 고난도 문항 3개

이들은 이용자 투표로 우열을 확정한 문항이 아니라 조건 해석의 부담을 고려해 고른 분석상 고난도 문항입니다. 공통점은 계산으로 얻은 후보를 그대로 채택할 수 없다는 데 있습니다. 중복 여부, 치환 조건, 공역의 충족 여부를 따로 점검하는 마지막 단계가 필요합니다.

시간 배분과 놓치기 쉬운 조건

처음에는 1~6번과 8번처럼 개념을 직접 적용하는 문항을 정확히 해결하세요. 7번에서 식 정리가 길어지면 역함숫값으로 나누어 경우를 잃지 않았는지 먼저 살펴보세요. 시작부터 무작정 계산을 늘리기보다, 사용할 성질과 제외 조건을 짧게 표시하는 것이 재검산 시간을 줄입니다.

14~17번에 들어가기 전에 서술형 18·19번을 확인하는 운영을 권합니다. 두 문항은 자동 분류 기준 쉬움이지만 변환 방향과 경우 분류를 글로 남겨야 합니다. 후반 객관식에 오래 머물러 답안을 쓸 시간을 잃지 않도록, 마지막 서술형까지 읽고 남은 시간을 배분하세요.

검토할 때는 계산 결과보다 조건 누락을 우선 보세요. 9번의 겹치는 교점, 14번의 실제 치역, 15번의 상자 구별 여부, 16번의 치환 변수 범위, 17번의 정의역 제외값과 전체 범위 조건, 20번의 공역 일치를 확인하세요. 특히 서술형에서는 조건을 사용한 근거가 식 옆에 드러나야 합니다.

다음 시험 대비 학습 순서

1. 역함수의 기본을 먼저 정리하세요. 대응 그림을 거꾸로 읽기, 합성 순서 확인, 변환식의 입력과 출력 바꾸기를 연결해 연습합니다(1·6·18번 대비).
2. 그래프의 기준 정보를 읽으세요. 유리함수의 점근선과 치역, 무리함수의 시작점과 증가 방향을 식과 그림 사이에서 바꿔 표현합니다(4·5·10·12·13번 대비).
3. 경우의 수의 계산 원리를 구분하세요. 선택과 배열, 합의 법칙과 곱의 법칙, 팩토리얼 전개를 말로 설명한 뒤 계산합니다(2·3·8·11·19번 대비).
4. 조건에 따른 누락과 중복을 점검하세요. 인수로 나누기 전에 별도 경우를 남기고, 치역 조건과 구별하지 않는 묶음을 표로 정리합니다(7·14·15번 대비).
5. 함수 조건을 방정식과 부등식으로 옮기세요. 교점, 전체 범위에서의 부호, 제외되는 함숫값을 각각 적고 후보를 다시 확인합니다(9·16·17번 대비).
6. 역함수 존재 조건을 서술하는 연습으로 마무리하세요. 단조성, 계수 부호별 끝값 대응, 치역과 공역의 일치를 빠짐없이 적고 시간을 재어 풉니다(20번 대비).