덕수고등학교
2023년 1학년 2학기 기말고사

덕수고 1학년 2학기 기말 수학(하)는 어떤 시험인가

덕수고등학교는 서울 송파구에 있습니다. 이번 자료에서 확인되는 출제 단원은 함수, 합성함수와역함수, 유리함수, 무리함수, 순열조합입니다. 대응 관계와 그래프를 읽는 능력에 경우의 수 계산이 더해지는 시험입니다.

함수에서는 같은 개념도 여러 방식으로 확인합니다. 합성함수는 함숫값 계산에서 시작해 합성 순서와 구간별 그래프 작성으로 이어집니다. 역함수는 입력과 출력을 되짚는 계산뿐 아니라 정의역과 공역, 대칭인 그래프 사이의 관계까지 살펴야 합니다.

경우의 수 역시 공식을 고르는 것으로 끝나지 않습니다. 책의 선택과 배열을 구별하거나, 좌표로 주어진 점 중 삼각형을 만들지 못하는 경우를 제외해야 합니다. 서술·단답형에서는 그래프 표시와 조건 분류가 답안에 드러나도록 정리하는 연습이 필요합니다.

난이도 분포 — 중간의 어려움과 후반의 조건 결합

자동 분류 기준 쉬움인 1·2번은 경로의 경우의 수와 합성함수의 함숫값입니다. 이어지는 3~5번은 역함수의 입력 복원, 유리함수의 평행이동, 무리함수의 최대·최소를 다룹니다. 기본형에서도 구간이나 증가·감소 방향을 먼저 확인해야 합니다.

6번에서 자동 분류 기준 어려움이 등장하지만 7~9번은 보통입니다. 10번 뒤에도 11~13번이 있으므로, 문항 번호만으로 난도를 예상하면 접근 가능한 문제를 놓칠 수 있습니다. 합성 조건이나 도형의 최솟값에서 풀이가 길어지면 표시하고 다음 문제의 출발점을 확인하세요.

후반에서는 16번이 자동 분류 기준 보통이고 17·18번이 어려움입니다. 서술·단답형도 19번은 보통, 20·21번은 어려움으로 나뉩니다. 분류는 실제 응시자의 체감 난도와 같다고 단정할 수 없지만, 후반에 조건 검토와 답안 작성 시간이 함께 필요하다는 점은 대비에 활용할 수 있습니다.

출제 단원 — 합성·역함수의 비중과 그래프 연결

합성함수와역함수는 초반 계산부터 후반 넓이 문제와 서술·단답형까지 분산되어 있습니다. 특히 7번의 함수 성질과 8번의 변형된 함수의 역함수는 기호를 외워 적용하기보다 입력과 출력의 흐름을 확인해야 합니다. 이 단원은 풀이 속도와 개념의 정확성을 함께 준비하세요.

순열조합에서는 합의 법칙과 곱의 법칙, 묶어 배열하기, 사전식 배열, 조합 기호, 삼각형과 색칠의 경우의 수가 나옵니다. 조건에 따라 선택과 배열을 분리하거나 전체에서 불가능한 경우를 빼야 합니다. 같은 공식이라도 무엇을 하나의 대상으로 세는지 설명할 수 있어야 합니다.

유리함수에서는 자동 분류 기준 어려움 문항이 10·14·18번에 있습니다. 대칭 중심과 점근선을 도형으로 연결하고, 무리함수에서 읽은 정보를 유리함수에 적용하거나 역함수 조건과 결합합니다. 무리함수도 5·9번의 그래프 해석을 바탕으로 20번의 직선과의 위치 관계까지 준비하는 편이 좋습니다.

문항별 정리

주의 문항 — 분석상 고난도 문항 3개

이 문항들은 이용자 투표로 확인된 난도 순위가 아니라, 조건을 연결하고 예외를 검사하는 구조를 근거로 고른 분석상 고난도 문항입니다. 공통적으로 계산을 시작하기 전의 정리가 중요합니다. 조건을 그림이나 경우 분류로 나타내고, 계산 후에는 처음 조건에 대조하는 단계를 남겨 두세요.

시간 배분과 놓치기 쉬운 조건

첫 풀이에서는 계산 경로가 보이는 문제를 확보하세요. 6번이나 10번에서 출발 관계식을 찾지 못하면 표시하고 뒤 문항을 확인하는 편이 좋습니다. 후반에도 16번과 19번처럼 접근법이 비교적 명확한 문항이 있으므로, 객관식을 모두 끝낸 뒤 서술·단답형을 시작하는 순서만 고집하지 마세요.

함수 문제의 검토는 허용 범위에 집중하세요. 3번은 구간별 식의 적용 범위, 7번은 정의역과 공역, 14번은 사분면의 엄격한 부호 조건이 중요합니다. 18번에서는 치역에서 빠지는 값과 역함수 관련 예외를, 20번에서는 제곱하기 전의 부호 조건을 따로 표시해 두세요.

서술·단답형은 풀이와 답안 작성 시간을 함께 남겨야 합니다. 19번은 구간별 식만 적고 그래프의 표시를 생략하지 마세요. 20번은 경계값을 정하는 근거와 후보의 적합성을, 21번은 경우를 나누는 기준을 적어 두면 검토도 쉬워집니다. 연습할 때 계산에 걸린 시간과 그래프·근거 작성 시간을 구분해 기록하세요.

다음 시험 대비 학습 순서

1. 대응표와 화살표로 합성·역함수의 입력과 출력을 추적하세요. 구간별 함수에서는 역으로 구한 입력의 범위까지 검사하세요(2·3·7·8번 대비).
2. 합성 순서를 유지하며 조건을 식으로 옮기고 구간별 합성 그래프를 그리세요. 식과 그래프의 경계가 일치하는지 확인하세요(6·19번 대비).
3. 유리함수의 점근선·대칭 중심과 무리함수의 끝점·증가 감소를 정리하세요. 사분면 조건과 도형 넓이로 연결해 보세요(4·5·9·10·14·15번 대비).
4. 교점의 개수는 그래프를 먼저 그린 뒤 방정식으로 확인하세요. 치역의 제외값, 판별식, 제곱 전의 부호를 함께 기록하세요(18·20번 대비).
5. 선택과 배열, 일대일 대응과 순서 조건을 구별하세요. 묶음 내부의 배열과 첫 자리 제한을 점검하는 습관을 들이세요(1·11·12·13·16번 대비).
6. 전체에서 불가능한 경우를 빼는 유형과 색의 관계로 경우를 나누는 유형을 연습하세요. 좌표 스케치나 인접 관계도로 누락과 중복을 검사하세요(17·21번 대비).