개포고등학교
2022년 1학년 1학기 중간고사

개포고 1학년 1학기 중간 수학(상)은 어떤 시험인가

개포고등학교는 서울 강남구에 있습니다. 제공된 자료에서 확인되는 출제 범위는 다항식, 항등식, 복소수, 이차방정식, 이차함수입니다. 다항식의 연산과 인수분해를 바탕으로 근의 성질과 그래프의 관계를 다루는 구성입니다.

공식을 알고 있는 데서 한 단계 더 나아가 사용할 형태를 고르는 능력이 필요합니다. 도형의 접선 관계를 길이의 식으로 바꾸거나, 나눗셈 조건을 차수 제한으로 읽는 접근이 등장합니다. 계산이 길어 보일 때는 먼저 반복되는 부분과 변하지 않는 관계를 찾아보세요.

서술·단답형에도 기본형과 조건 연결형이 함께 있습니다. 18·19번은 연산과 대입으로 접근할 수 있지만 21~23번은 대수식과 도형 해석을 함께 요구합니다. 문제의 위치나 형식만으로 풀이 순서를 정하지 말고, 출발 아이디어가 보이는지 확인하며 진행하는 편이 좋습니다.

난이도 분포 — 초반의 응용과 후반의 조건 연결

쉬움은 1·3·11·18·19번으로, 항등식 대입과 곱셈공식, 판별식, 기본 나눗셈을 다룹니다. 보통은 2·5·9·10·20번입니다. 이 구간은 공통부분 치환, 켤레근, 근과 계수의 관계를 정확히 적용해 계산 시간을 줄이는 연습에 적합합니다.

어려움은 4·6·7·8번에도 배치되어 있어 초반부터 일정하게 난도가 올라가는 시험은 아닙니다. 객관식 12~17번에서는 주기 조건, 절댓값, 다항식의 근, 접선과 극값 해석이 이어집니다. 중간 문항에서 막히면 뒤의 기본형까지 함께 미루지 않도록 전체를 살펴보세요.

서술·단답형 21~23번에서는 조건을 식으로 바꾸는 근거가 중요합니다. 난이도는 자동 분류 기준이며 실제 응시자의 체감 난도를 확정하는 자료는 아닙니다. 다만 후반에 여러 개념을 연결하는 문항이 이어진다는 점은 풀이 순서를 연습할 때 반영할 수 있습니다.

출제 단원 — 다항식의 비중과 이차함수의 응용

다항식은 공통부분 치환과 나눗셈뿐 아니라 4·7번의 평면도형, 22번의 입체도형 해석으로 확장됩니다. 도형의 길이나 부피를 다항식으로 나타낸 뒤 곱셈공식과 인수분해를 적용하는 연습이 필요합니다. 나눗셈에서는 계산 절차와 나머지의 차수 조건을 함께 익히세요.

이차방정식은 켤레근, 판별식, 근과 계수의 관계가 중심입니다. 13번에서는 근의 부호를 먼저 알아야 절댓값을 처리할 수 있고, 14번에서는 근이 만족하는 관계로 거듭제곱을 낮춥니다. 근을 직접 구하는 방법 외에 합과 곱만으로 목표식을 표현하는 방법을 연습하세요.

이차함수는 15·16·17·21·23번이며 모두 자동 분류 기준 어려움입니다. 접한다는 말을 중근으로 바꾸거나, 축과 구간을 이용해 극값을 판단하는 과정이 핵심입니다. 복소수는 주기와 켤레 성질로, 항등식은 적절한 대입으로 정리하는 기초를 함께 확보해야 합니다.

문항별 정리

주의 문항 — 분석상 고난도 문항 3개

이 문항들은 이용자 투표로 확인된 순위가 아니라 조건 처리 과정을 근거로 고른 분석상 고난도 문항입니다. 공통점은 계산 전에 식의 형태나 적용 범위를 결정해야 한다는 것입니다. 연습할 때는 첫 계산식 위에 차수, 교점 조건, 구간 분류의 근거를 짧게 적어 보세요.

시간 배분과 놓치기 쉬운 조건

첫 풀이에서는 대입과 기본 연산으로 출발할 수 있는 문항부터 확보하세요. 4번의 도형 해석이나 6번의 차수 추론이 막히면 표시하고 넘어가되, 객관식 뒤의 18·19번도 확인하세요. 실제 시험 시간이 자료에 없으므로 고정된 분 단위 계획보다 문항별로 첫 접근에 걸리는 시간을 기록하며 자신의 풀이 순서를 조정하는 것이 좋습니다.

서술·단답형은 계산 전에 근거가 되는 관계를 먼저 적으세요. 20번은 근의 합과 곱, 21번은 나눗셈의 항등식과 교점 조건, 22번은 부피 합과 인수분해, 23번은 좌표와 길이의 관계를 출발점으로 삼을 수 있습니다. 복잡한 계산을 시작하기 전에 무엇을 구하면 다음 단계로 이어지는지 표시하면 되돌아가는 일을 줄일 수 있습니다.

마지막 검토에서는 제외 조건을 우선 확인하세요. 11번은 이차방정식이 유지되는 조건, 13번은 근의 부호와 제곱 전 조건, 15번은 모든 매개변수에서 접한다는 조건이 중요합니다. 21번은 도형의 높이를 양수로 해석할 수 있는지, 23번은 길이의 부호와 후보의 구간 소속을 확인하세요.

다음 시험 대비 학습 순서

1. 항등식의 대입과 곱셈공식부터 정확히 정리하세요. 목표로 하는 계수의 결합이나 공통인수가 보이는지 먼저 확인하세요(1·2·3·19번 대비).
2. 다항식 나눗셈의 기본 절차를 익힌 뒤 차수 추론으로 확장하세요. 나누는 식과 몫, 나머지를 구분해 같은 항등식으로 표현하세요(5·6·18번 대비).
3. 도형의 접선과 피타고라스 관계를 복습하고 부피를 다항식으로 나타내 보세요. 식을 구한 뒤에는 원래 길이와 배치로 되돌려 확인하세요(4·7·22번 대비).
4. 복소수의 켤레 성질과 거듭제곱 주기를 묶어 연습하세요. 반복 묶음과 남는 항을 구분하고 지수 조건을 주어진 범위에 적용하세요(8·9·10·12번 대비).
5. 판별식과 근과 계수의 관계를 정리하세요. 근의 부호를 판단한 뒤 절댓값과 대칭식을 처리하고 근이 만족하는 식으로 차수를 낮추세요(11·13·14·20번 대비).
6. 이차함수와 직선의 차이를 방정식으로 나타내 보세요. 접점은 중근으로, 교점은 차이 다항식의 근으로 해석하는 연습을 하세요(15·17·21번 대비).
7. 축과 정의역을 그린 뒤 최댓값과 최솟값을 구하세요. 길이에 절댓값이 들어가면 구간을 나누고 각 후보의 적용 범위를 확인하세요(16·23번 대비).