개포고등학교
2024년 1학년 1학기 기말고사

개포고 1학년 1학기 기말 수학(상)은 어떤 시험인가

개포고등학교는 서울 강남구에 있습니다. 자료에서 확인되는 출제 범위는 여러가지방정식, 이차방정식, 여러가지부등식, 평면좌표, 직선의방정식, 원의방정식입니다. 대수 계산과 좌표 도형의 해석이 함께 필요한 시험입니다.

부등식에서는 해를 구하는 것에서 나아가 정수해의 개수나 매개변수의 범위를 판단합니다. 좌표 도형에서는 내분·외분, 수직 관계, 원의 접선과 거리 조건이 연결됩니다. 개별 공식을 외운 뒤 어느 조건에 적용할지 고르는 연습이 필요합니다.

문항 번호에 따라 난도가 계속 높아지는 구성은 아닙니다. 자동 분류 기준 쉬움인 16·18번이 서술·단답형에 있으므로 전체를 훑어 접근 가능한 문항을 확보하세요. 21번처럼 보통으로 분류되어도 공식의 근거를 설명해야 하는 문항은 별도 시간이 필요합니다.

난이도 분포 — 객관식 후반에 이어지는 조건 해석

쉬움은 16·18번입니다. 연립방정식의 대입과 인수분해, 거리와 분점 및 원의 기본 공식을 정확히 적용하는 구간입니다. 여러 소문항의 계산을 차례로 처리해야 하므로 분류가 쉽다는 이유로 검산을 생략하지 마세요.

보통 문항에는 구간 내에서 항상 성립하는 부등식, 절댓값의 구간 분리, 직선의 위치 관계가 포함됩니다. 계산 전에 기준점을 표시하면 풀이를 줄일 수 있습니다. 17번의 연립부등식에서는 해의 공통부분과 제외되는 점을 함께 정리해야 합니다.

어려움으로 분류된 11~15번은 조건을 좌표나 이차식으로 바꾸고 추가 조건으로 후보를 좁히는 과정이 이어집니다. 19·20번도 거리와 반지름의 비교, 근의 위치 판단을 요구합니다. 이 분포는 자동 분류 기준이며 응시자의 실제 체감 난도를 확정하는 자료는 아닙니다.

출제 단원 — 부등식과 원의 위치 관계가 중심

가장 많은 여러가지부등식은 연립부등식의 기본 풀이부터 정수해의 개수, 그래프 조건으로 이차식 복원하기, 제한된 구간에서의 실근 존재까지 이어집니다. 해를 구한 뒤 조건에 맞는 정수나 매개변수를 추리는 단계를 따로 연습하세요.

원의방정식은 완전제곱식으로 중심과 반지름을 읽는 기본형과 접선·거리·위치 관계를 결합한 유형이 함께 나옵니다. 평면좌표의 11·12번도 원의 중심이나 삼각형의 넓이와 연결됩니다. 단원 분류와 실제 풀이에 쓰는 개념이 항상 일치하지는 않습니다.

직선의방정식은 수직이등분선, 정점을 지나는 직선, 점과 직선 사이의 거리를 통한 넓이 증명을 다룹니다. 이차방정식의 10번은 닮음을 먼저 찾아야 식을 세울 수 있습니다. 도형에서 대응 관계를 표시하고 대수식으로 옮기는 과정을 함께 복습하세요.

문항별 정리

작년 시험과 비교 — 부등식 비중과 서술·단답형의 변화

작년과 올해 모두 수학(상)입니다. 자동 분류 기준 어려움 문항 수는 같지만 전체 문항 수가 줄고 쉬움이 줄었습니다. 서술·단답형은 작년 21·22번에서 올해 16~21번으로 확대되어, 풀이 과정을 정리하는 연습의 필요성이 커졌습니다.

여러가지부등식은 작년 5문항에서 올해 8문항으로 늘었고, 원의방정식은 6문항에서 5문항으로 바뀌었습니다. 원의 기본과 접선 관계를 유지하면서 정수해 개수, 항상 성립하는 조건, 근의 위치처럼 부등식의 다양한 해석을 보강하는 편이 좋습니다.

작년 어려움 문항은 14~22번에 이어졌지만 올해는 5·8번에서 일찍 등장하고 11~15번 및 19·20번에 배치됩니다. 어려운 문제가 시작된 이후에도 기본형을 찾을 수 있습니다. 다음 시험 연습에서는 번호 순서대로 끝까지 풀기와 전체를 훑어 풀이 순서를 정하기를 구별해 보세요.

주의 문항 — 분석상 고난도 문항 3개

이 문항들은 이용자 투표로 확인된 난도 순위가 아니라 조건 처리 구조를 근거로 고른 분석상 고난도 문항입니다. 공통점은 조건을 식으로 바꾼 뒤 다시 위치와 범위로 검증해야 한다는 점입니다. 계산 결과를 얻은 후 처음 조건으로 돌아가는 단계를 생략하지 마세요.

시간 배분과 놓치기 쉬운 조건

첫 풀이에서는 접근 방법이 보이는 문항을 먼저 확보하세요. 5·8번에서 정수해나 원의 배치 정리가 길어지면 표시해 두고 다음 문항을 확인하는 편이 좋습니다. 11~15번에 시간을 모두 쓰기 전에 16·18번의 기본형과 17·21번의 출발 조건을 살펴보세요.

서술·단답형은 식을 쓰는 이유를 짧게 붙이는 연습이 필요합니다. 19번은 접선과 반지름의 수직 관계, 20번은 근의 위치에 따른 경우 구분, 21번은 밑변과 높이의 선택이 출발점입니다. 연습할 때 조건 해석과 계산에 걸리는 시간을 나누어 기록하면 어디서 지체되는지 알 수 있습니다.

검토할 때는 끝점과 예외를 우선 보세요. 2·5번은 정수의 포함 여부, 7번은 원이 퇴화하지 않는 조건, 9번은 평행과 일치의 차이가 중요합니다. 17번은 제외되는 점, 19번은 접하는 경계, 20번은 구간 끝에서의 근을 확인하면 조건 누락을 줄일 수 있습니다.

다음 시험 대비 학습 순서

1. 연립방정식의 대입과 인수분해부터 점검하세요. 갈라진 경우를 다른 식에 대입하고 해를 검증하는 순서를 고정하세요(16번 대비).
2. 거리·내분·외분·중점과 직선의 기본 공식을 복습하세요. 내분비의 방향과 수직 관계를 그림으로 표시하세요(3·4·18번 대비).
3. 연립부등식과 절댓값은 수직선으로 해집합을 정리하세요. 정수해를 셀 때 끝점의 포함 여부를 확인하세요(2·5·6·17번 대비).
4. 이차함수의 축·최댓값·최솟값과 중근 조건을 연결하세요. 주어진 해에서 이차식을 복원하는 연습으로 확장하세요(1·13·14·20번 대비).
5. 원의 중심과 반지름을 구한 뒤 접선과 중심거리로 도형을 해석하세요. 교점 조건을 거리의 범위로 바꾸어 보세요(7·8·15·19번 대비).
6. 도형 조건을 좌표로 표현하고 근거를 문장으로 설명하세요. 내분점 후보 검사, 넓이의 식 구성, 거리 공식의 적용 이유를 적어 보세요(10·11·12·21번 대비).