개포고등학교
2023년 1학년 1학기 중간고사

개포고 1학년 1학기 중간 수학(상)은 어떤 시험인가

개포고등학교는 서울 강남구에 있습니다. 이번 시험에서 확인되는 단원은 다항식, 항등식, 이차방정식, 복소수, 여러가지방정식, 이차함수입니다. 다항식의 기본 연산에서 시작해 방정식의 근과 함수의 그래프를 연결하는 범위를 다룹니다.

초반에는 계수 비교, 판별식, 근과 계수의 관계를 직접 적용하는 문제가 배치되어 있습니다. 중반에는 도형의 넓이를 식으로 표현하거나 복소수의 실수부와 허수부를 나누는 해석이 더해집니다. 개념을 아는 것과 상황에 맞는 개념을 고르는 것을 함께 점검하는 시험입니다.

후반에는 조건 하나로 식의 형태를 정한 뒤 다른 조건으로 후보를 제한하는 과정이 중요합니다. 서술·단답형도 나머지 계산에서 허근의 주기로 넘어가거나, 주어진 근에서 중근의 경우 분류로 이어집니다. 계산을 시작하기 전에 조건별 역할과 풀이 순서를 적는 연습이 도움이 됩니다.

난이도 분포 — 초반 기본형과 후반 조건 결합

쉬움 문항은 초반에 집중되어 있습니다. 접점과 실근의 판별, 변환된 근을 갖는 방정식 작성, 고정된 구간에서의 최댓값처럼 기본 개념을 정확히 적용해야 합니다. 이 구간에서 부호와 정의역을 확인하는 습관을 유지하면서 계산 시간을 줄이는 것이 후반 풀이의 기반입니다.

7번은 그래프의 접촉과 교점을 여러 판단으로 연결하므로 초반의 다른 문항과 풀이 성격이 다릅니다. 여기서 오래 멈추기보다 8~14번의 보통 문항을 살펴볼 수 있습니다. 보통 문항도 나머지의 차수를 낮추거나 도형의 관계를 식으로 옮기는 단계가 있어 단순 계산으로만 접근하면 시간이 늘어납니다.

15~18번과 20~22번은 자동 분류 기준 어려움 문항입니다. 여러 조건을 순서대로 쓰고 마지막에 범위나 부호를 검토하는 부담이 있습니다. 이 분류가 실제 응시자의 체감 난도와 일치한다고 단정할 수는 없으며, 학습에서는 조건 변환과 검산에 필요한 과정을 중심으로 활용하세요.

출제 단원 — 이차함수와 항등식의 높은 비중

이차함수는 접점과 교점을 다루는 3·7·15번, 최대·최소를 다루는 6·14·16번, 근의 관계와 최솟값을 연결하는 18번으로 나뉩니다. 판별식만 반복하는 공부보다 함수의 차, 완전제곱식, 축과 구간의 위치를 각각 출발점으로 선택하는 연습이 필요합니다.

항등식은 1·2번의 계수 비교에서 8번의 나머지 연산, 10번의 차수 판단으로 이어집니다. 17번은 제곱의 합과 수치 대입으로 인수를 찾고, 21번은 나머지를 구한 뒤 허근의 주기를 활용합니다. 나눗셈을 계산 절차로만 외우지 말고 몫과 나머지로 표현한 등식의 의미를 익히세요.

이차방정식과 복소수는 다른 단원의 풀이 도구이기도 합니다. 11번의 켤레근과 13번의 허근 성질은 18·21번을 이해하는 데 연결되고, 인수정리는 20·22번의 식 정리에 필요합니다. 출제 수가 적은 단원도 핵심 성질을 빠뜨리지 않아야 합니다.

문항별 정리

작년 시험과 비교 — 어려움 문항 감소와 중심 단원의 변화

작년과 올해는 모두 수학(상)입니다. 자동 분류 기준 어려움 문항과 서술·단답형이 줄고 보통 문항이 늘었습니다. 작년에는 4번부터 어려움이 나타나고 12~17번에 이어졌으며, 올해는 7번에서 먼저 등장한 뒤 15~18번과 20~22번에 모입니다. 분포상 부담의 차이는 있지만 이것만으로 실제 성적 변화를 판단할 수는 없습니다.

단원 구성에서는 다항식이 8문항에서 1문항으로 줄고, 항등식이 2문항에서 6문항으로 늘었습니다. 이차함수도 5문항에서 7문항으로 늘어 가장 많은 단원이 되었습니다. 공통 단원 기준으로 연산과 인수분해뿐 아니라 항등식의 조건 해석과 그래프의 관계를 더 충분히 연습할 필요가 있습니다.

다음 시험 준비에서는 작년의 다항식 중심 구성만 기준으로 학습량을 정하지 마세요. 올해의 이차함수와 항등식을 우선 복습하되, 복소수와 방정식의 근이 후반 문제의 도구로 연결된다는 점을 반영하세요. 서술·단답형 수가 줄어도 과정이 긴 문항을 설명하는 연습은 필요합니다.

주의 문항 — 분석상 고난도 문항 3개

이 문항들은 이용자 투표로 확인한 난도 순위가 아니라 조건 처리 구조를 근거로 고른 분석상 고난도 문항입니다. 공통적으로 계산 전에 경우나 식의 형태를 정해야 합니다. 풀이가 막힐 때는 전개를 늘리기보다 아직 사용하지 않은 조건이 어떤 후보를 제한하는지 살펴보세요.

시간 배분과 놓치기 쉬운 조건

첫 풀이에서는 초반의 기본형을 정확히 처리하고, 7번의 판단이 길어지면 표시한 뒤 중반 문항을 확인하세요. 15~18번에서 시간이 걸려도 19번까지 함께 미루지 않는 연습이 필요합니다. 연습 시험에서는 계산 시간과 접근법을 찾는 시간을 구별해 기록하면 어떤 유형을 보완해야 하는지 드러납니다.

서술·단답형을 검토할 시간도 남겨 두세요. 21번은 나머지 결정과 주기에 따른 분류가 모두 필요하고, 22번은 중근이 생기는 경우를 빠짐없이 적어야 합니다. 먼저 전체 문항을 살펴 접근 가능한 단계부터 진행하고, 주기나 경우 분류의 기준을 적어 두면 다시 돌아왔을 때 풀이를 이어가기 쉽습니다.

마지막에는 조건을 중심으로 검토하세요. 8·12·19번의 양수 조건, 9번의 길이 대소 조건, 16번의 정수와 구간 조건이 후보 선택에 영향을 줍니다. 18번은 중근과 허근의 경계를 구별하고, 21번은 자연수 범위의 시작과 끝, 22번은 중복된 근과 남은 근의 처리를 확인하세요.

다음 시험 대비 학습 순서

1. 계수 비교와 차수 판단부터 정리하세요. 없어져야 하는 항과 남아야 하는 항을 전개 전에 표시해 보세요(1·2·10번 대비).
2. 판별식과 근과 계수의 관계를 복습하세요. 접점, 실근, 켤레근 조건을 각각 어떤 식으로 바꾸는지 설명해 보세요(3·4·5·11번 대비).
3. 이차함수의 축과 구간을 그리는 연습을 하세요. 고정된 구간의 기본형에서 정수 매개변수와 도형의 넓이 문제로 확장하세요(6·14·16번 대비).
4. 함수의 차와 근의 관계를 이용한 조건 변환을 연습하세요. 접한다는 조건과 최솟값의 위치를 식의 형태로 먼저 나타내세요(7·15·18번 대비).
5. 나머지정리와 인수정리를 묶어 공부하세요. 나머지의 차수, 제곱의 합으로 찾는 근, 항을 묶어 드러내는 공통인수를 점검하세요(8·17·20번 대비).
6. 복소수의 실수 조건과 거듭제곱 주기를 정리하세요. 허근이 만족하는 식을 활용한 차수 축소와 범위 안의 개수 세기를 연결하세요(12·13·19·21번 대비).
7. 도형에서는 길이의 범위를 먼저 적고, 고차방정식에서는 중근이 생기는 위치를 분류하세요. 후보를 원래 조건에 대입해 검토하는 단계까지 풀이를 완성하세요(9·22번 대비).