수원고등학교
2025년 2학년 2학기 중간고사

수원고 2학년 2학기 중간 수학II는 어떤 시험인가

수원고등학교는 경기 수원시에 있습니다. 이번 자료에서 확인되는 범위는 함수의극한, 함수의연속, 미분계수와도함수, 도함수의활용입니다. 극한의 기본 계산과 그래프 읽기에서 출발해 미분가능성, 최솟값, 접선과 교점의 관계까지 연결됩니다.

초반에는 유리화, 다항함수의 미분, 평균변화율처럼 출발 방법이 비교적 분명한 유형이 배치되어 있습니다. 반면 후반에는 주어진 극한이 존재한다는 사실에서 함수의 형태를 제한하거나, 실근의 개수와 접선 조건을 식과 그래프로 번역해야 합니다. 공식을 아는 것과 적용할 조건을 찾는 것을 함께 연습해야 합니다.

서술형이 없더라도 중간 근거를 생략하는 습관은 불리할 수 있습니다. 경계에서 함수가 정의되는지, 좌우에서 같은 값에 접근하는지, 얻은 접점이 위치 조건을 만족하는지를 확인해야 하기 때문입니다. 객관식 선택에 앞서 후보를 제외한 이유를 짧게 남겨 두면 재검토에도 도움이 됩니다.

난이도 분포 — 후반에 이어지는 조건 해석

자동 분류 기준 쉬움 문항은 초반에 모여 있습니다. 1번은 무리식의 유리화, 2번은 다항함수의 미분, 3번은 그래프의 편측극한을 다룹니다. 5·6번에서는 식을 정리하거나 평균변화율과 순간변화율을 연결해야 하므로, 기본형에서도 분모의 형태와 변수 조건을 정확히 읽는 연습이 필요합니다.

7번은 곱함수의 연속성을 묻는 어려움 문항이지만, 이어지는 8~10번은 보통으로 분류되어 있습니다. 초반에서 막힌 문항을 붙들고 뒤의 접근 가능한 문항까지 놓치지 않도록 하세요. 8·9번은 유한한 극한에서 함숫값 조건을 먼저 얻고, 10번은 연속과 미분가능 조건을 차례로 적용하는 방식입니다.

11~18번은 자동 분류 기준 모두 어려움입니다. 계산을 길게 하는 것보다 함수의 형태, 조사할 지점, 가능한 접점 등을 먼저 좁히는 과정이 중요합니다. 이 분류가 실제 응시자의 체감 난도를 그대로 뜻하지는 않지만, 후반 문제에 조건 정리 시간을 남겨 둘 필요는 분명합니다.

출제 단원 — 미분계수와 도함수에서 활용으로

미분계수와도함수는 기본 미분 계산부터 구간별 함수의 미분가능성까지 폭이 넓습니다. 9번처럼 입력이 변형된 극한을 미분계수의 정의로 되돌리는 연습이 필요합니다. 11번은 모든 실수에 대한 극한 조건을 함수의 대칭성과 연결하고, 16번은 절댓값으로 생기는 대칭과 미분계수의 부호를 함께 처리합니다.

도함수의활용은 해당 문항 전체가 자동 분류 기준 어려움에 속합니다. 12번의 넓이 최소화, 13번의 최댓값 조건, 14번의 도함수 방정식의 실근 개수, 17·18번의 접선과 교점이 서로 다른 방식으로 미분을 활용합니다. 도함수를 구한 뒤 무엇을 판단해야 하는지까지 유형별로 정리하세요.

극한과 연속도 계산만으로 끝나지 않습니다. 4번은 분모가 사라지지 않아야 하는 조건을, 7번은 곱함수 자체의 연속 조건을 확인합니다. 15번은 분모의 영점과 이동된 분자의 경계를 함께 조사하므로, 단원별 학습 뒤에는 극한·연속·미분가능성을 연결하는 문제를 풀어 보는 것이 좋습니다.

문항별 정리

작년 시험과 비교 — 활용 중심에서 미분계수 단원의 비중 확대로

작년과 올해는 같은 수학II이며 총 문항 수와 서술·단답형이 없는 구성도 같습니다. 자동 분류 기준 어려움은 8문항에서 9문항으로 늘었지만 쉬움도 4문항에서 5문항으로 늘었습니다. 따라서 시험 전체가 같은 정도로 어려워졌다기보다 보통 구간이 줄어든 분포 변화로 읽는 편이 적절합니다.

미분계수와도함수는 작년 5문항에서 올해 7문항으로 늘어 가장 많은 단원이 되었습니다. 도함수의활용은 6문항에서 5문항, 함수의극한은 5문항에서 4문항으로 줄었으며 함수의연속은 2문항으로 같습니다. 활용 문제와 함께 미분계수의 정의 및 미분가능성 조건을 충분히 연습할 필요가 있습니다.

자동 분류 기준 어려움은 작년에 7번과 12~18번, 올해는 7번과 11~18번입니다. 후반의 어려움 구간이 앞당겨졌으므로 기본형을 처리한 뒤 조건 해석에 시간을 배분하는 연습이 중요합니다. 다만 이 비교만으로 다음 시험의 문항 배치나 단원별 수를 예측해서는 안 됩니다.

주의 문항 — 분석상 고난도 문항 3개

이 문항들은 자동 분류 기준 어려움 중 조건 처리 구조를 근거로 고른 분석상 고난도 문항이며, 이용자 투표로 확인된 난도 순위는 아닙니다. 공통적으로 계산 전 후보와 제외 조건을 정해야 합니다. 조사할 지점이나 접점의 위치를 먼저 적으면 불필요한 계산을 줄일 수 있습니다.

시간 배분과 놓치기 쉬운 조건

첫 풀이에서는 기본 계산과 출발 조건이 보이는 문항을 먼저 처리하세요. 7번에서 곱함수의 조건 정리가 막히면 표시하고 8~10번을 확인하는 방식이 좋습니다. 후반으로 가기 전에 확보할 문항을 점검하고, 연습에서는 조건을 해석하는 시간과 계산 시간을 나누어 기록하세요.

11번 이후에는 계산을 시작하기 전에 필요한 틀을 짧게 써 보세요. 12번은 넓이 함수의 정의역과 절댓값의 부호, 14번은 도함수 그래프에서 빠지는 경계점, 15번은 조사할 후보 지점이 우선입니다. 처음부터 식을 전개하기보다 간단한 그래프나 구간표를 작성하면 검토할 대상이 선명해집니다.

마지막 검토에서는 조건 누락을 우선 확인하세요. 10번은 함숫값을 계산할 구간, 13번은 열린구간 안에서 최댓값이 실제로 달성되는지, 16번은 음의 쪽 극한값의 부호가 중요합니다. 17·18번에서는 접점과 다른 교점을 바꾸어 읽지 않았는지, 제외해야 하는 접선을 남기지 않았는지 확인하세요.

다음 시험 대비 학습 순서

1. 유리화와 인수분해, 그래프의 편측극한 읽기를 복습하세요. 대입 전에 부정형인지 확인하고 접근 방향을 표시하세요(1·3·5번 대비).
2. 유한한 극한의 존재 조건을 함숫값과 계수 조건으로 바꾸세요. 무한대의 극한에서는 최고차항을 먼저 비교하세요(8·9·11번 대비).
3. 평균변화율과 미분계수를 구별하고 입력이 변형된 극한을 정의로 되돌리세요. 접선의 기울기와 접점 좌표를 따로 확인하세요(2·6·9번 대비).
4. 연속과 미분가능성을 경계의 조건표로 정리하세요. 곱 전체의 연속성과 각 인수의 연속성을 구별하세요(4·7·10번 대비).
5. 정의역이 있는 최댓값·최솟값 문제를 연습하세요. 도함수의 부호뿐 아니라 끝점과 등호 성립 지점을 검토하세요(12·13번 대비).
6. 절댓값은 구간별 식과 그래프를 함께 작성하세요. 경계, 영점, 좌우 극한, 음의 입력에서의 부호를 차례로 확인하세요(14·15·16번 대비).
7. 삼차곡선의 접선에서 접점을 중근으로 해석하는 연습을 하세요. 다른 교점과의 좌표 관계를 구한 뒤 넓이와 중점 조건을 연결하세요(17·18번 대비).