곡정고등학교
2025년 2학년 2학기 중간고사

곡정고 2학년 2학기 중간 수학II는 어떤 시험인가

곡정고등학교는 경기 수원시에 있습니다. 이번 자료에서 확인되는 출제 범위는 함수의극한, 함수의연속, 미분계수와도함수, 도함수의활용입니다. 극한의 존재와 계산을 출발점으로 연속성, 미분가능성, 평균값 정리와 접선까지 연결하는 시험입니다.

초반에는 유리화, 무한대에서의 극한, 연속이 되도록 함숫값 정하기 등 기본 접근이 드러나는 문제가 있습니다. 중후반에는 항등식이나 복잡한 극한식을 미분계수의 정의로 바꾸어야 합니다. 식을 전개하기 전에 어느 점의 함숫값과 미분계수가 필요한지 파악하는 것이 중요합니다.

서술·단답형 뒤에도 객관식이 이어지는 구성입니다. 문항 번호가 뒤에 있다고 모두 서술형으로 판단하지 말고 답안 형식을 확인하세요. 20번은 두 함수의 값과 미분계수를 단계적으로 정리하고, 21번은 그래프의 불연속과 곱함수의 미분가능성을 함께 해석해야 합니다.

난이도 분포 — 중후반의 미분계수 해석에 집중

쉬움 문항에서도 개념 구별은 필요합니다. 1번은 그래프의 끊김과 모서리를 구별하고, 4번은 음의 무한대로 향할 때 근호 밖으로 나오는 부호를 확인해야 합니다. 18번은 절댓값을 좌우로 나누어 극한의 존재를 판단하는 과정을 쓰는 문제이므로 기본 개념을 문장으로 설명하는 연습에 적합합니다.

보통 문항은 극한 조건으로 미지수를 정하는 5·7·8번과 접선에 연결하는 14·15번입니다. 특히 14·15번은 앞의 어려움 구간을 지나 다시 접근할 만한 문항입니다. 평균변화율과 미분계수의 관계, 평행한 접선의 기울기 조건을 정확히 세우면 계산 방향을 정할 수 있습니다.

어려움 구간에는 식을 다른 형태로 바꾸는 과정이 반복됩니다. 11·13·16번은 차분몫을 구성하고, 17·21번은 연속 조건을 확보한 뒤 미분가능성을 확인합니다. 이 난이도는 자동 분류 기준이며, 실제 응시자의 체감 난도나 문항별 난도 순위를 확정하는 자료는 아닙니다.

출제 단원 — 함수의극한과 미분계수와도함수의 공동 최다 출제

함수의극한은 계산형에서 조건 해석형으로 확장됩니다. 2·4번의 유리화와 최고차항 처리를 익힌 뒤, 5번의 유한한 극한 조건과 7·10번의 다항식 결정으로 이어서 연습하세요. 같은 극한 단원이라도 계산법 선택과 다항식의 형태 결정은 별도로 익혀야 합니다.

미분계수와도함수에서는 곱의 미분법을 적용하는 9번에 비해 11·13·16번의 정의 해석이 중요합니다. 분자의 함숫값 차와 분모의 입력 차가 서로 대응해야 한다는 점을 확인하세요. 20번처럼 미분 공식을 쓰기 전에 필요한 함숫값을 극한 조건에서 먼저 얻어야 하는 경우도 있습니다.

함수의연속은 문항 수만 보고 가볍게 넘기기 어렵습니다. 12번은 사잇값 정리로 보장되는 실근을 구분하고, 19번은 인수로 나눈 식을 예외 지점까지 연결해야 합니다. 도함수의활용은 평균값 정리와 평행접선으로 출제되어, 미분계수의 기하적 의미를 확인하는 역할을 합니다.

문항별 정리

작년 시험과 비교 — 같은 문항 수에서 미분 단원의 부담 증가

작년과 올해는 모두 수학II입니다. 총 문항 수는 같지만 자동 분류 기준 어려움 문항이 늘고 쉬움과 보통 문항은 줄었습니다. 서술·단답형 수가 감소했다는 사실만으로 시험 부담이 줄었다고 보기는 어렵습니다. 올해는 객관식 마지막까지 어려움 문항이 이어집니다.

함수의극한은 작년과 올해 모두 8문항입니다. 미분계수와도함수는 작년 5문항에서 올해 8문항으로 늘었고, 함수의연속은 6문항에서 3문항으로 줄었습니다. 도함수의활용은 모두 2문항입니다. 올해 대비에서는 극한 계산에 더해 미분계수의 정의와 미분가능성 조건을 충분히 연습할 필요가 있습니다.

작년 어려움 문항은 12·13·16·17·18번이었고, 올해는 10·11번부터 등장하여 19~21번까지 배치되어 있습니다. 작년 서술·단답형은 보통 이하였지만 올해 19번은 어려움으로 분류됩니다. 다음 시험 연습에서는 형식이나 번호로 난도를 예상하기보다 전체를 살피고 조건 해석에 걸리는 시간을 관리하세요.

주의 문항 — 분석상 고난도 문항 3개

이 문항들은 이용자 투표에 따른 순위가 아니라 조건 처리 구조를 근거로 고른 분석상 고난도 문항입니다. 공통적으로 계산 전에 판단할 대상을 분명히 해야 합니다. 근의 존재인지, 특정 점의 변화율인지, 곱함수의 미분가능성인지 먼저 적으면 불필요한 전개를 줄일 수 있습니다.

시간 배분과 놓치기 쉬운 조건

첫 풀이에서는 기본 계산과 조건이 바로 보이는 문항부터 처리하세요. 10~13번에서 풀이가 길어지면 표시하고 14·15번과 18번을 확인하는 운영이 필요합니다. 서술·단답형을 마지막에 한꺼번에 시작하기보다 18번의 좌우극한 설명을 먼저 완성하고 19번의 연속성 근거를 쓸 시간을 남기세요.

식의 약분과 조건 적용의 순서를 점검하세요. 5·10번은 유한한 극한을 갖기 위한 분자의 조건이 먼저이고, 17번은 연속 조건을 확보한 뒤 미분계수를 비교해야 합니다. 19번은 나누는 인수가 사라지는 점에서 바로 약분할 수 없으므로, 그 점의 함숫값을 연결하는 근거를 별도로 쓰세요.

마지막 검토에서는 부호와 빠진 항을 확인하세요. 4번의 근호와 절댓값, 13·16번의 입력 변화에 따른 인수, 20번의 곱의 미분법이 점검 대상입니다. 21번에서는 그래프의 점 표시와 좌우극한을 구별하고, 계수를 정한 뒤 필요한 지점의 미분가능성을 다시 확인하세요.

다음 시험 대비 학습 순서

1. 극한의 존재와 기본 계산을 정리하세요. 좌우극한, 유리화, 음의 무한대에서의 근호 부호를 따로 설명해 보세요(2·3·4·18번 대비).
2. 유한한 극한 조건과 다항식 결정 문제를 연결하세요. 분자의 조건, 차수 제한, 약분 후 남는 조건의 순서를 적으세요(5·7·8·10번 대비).
3. 연속성으로 빠진 점을 연결하는 연습을 하세요. 약분할 수 있는 범위와 연속성을 적용하는 지점을 구별하세요(6·19번 대비).
4. 미분계수의 정의를 여러 형태로 복원하세요. 기준점의 함숫값을 더하고 빼는 방법과 치환 뒤 분모를 맞추는 방법을 연습하세요(11·13·16번 대비).
5. 사잇값 정리와 미분가능성의 논리를 구별하세요. 실근의 중복을 피하고, 경계에서는 연속 조건과 좌우 미분계수 조건을 순서대로 적용하세요(1·12·17·21번 대비).
6. 미분 공식을 접선과 곱함수에 적용하세요. 접점의 좌표를 확인하고 필요한 함숫값과 미분계수를 나누어 기록한 뒤 계산하세요(9·14·15·20번 대비).