평촌고등학교
2025년 1학년 2학기 기말고사

평촌고 1학년 2학기 기말 공통수학2는 어떤 시험인가

평촌고등학교는 경기 안양시에 있습니다. 이번 시험에서 확인되는 범위는 함수, 명제, 합성함수와역함수, 무리함수, 유리함수입니다. 함수의 뜻과 합성 계산부터 진리집합, 그래프의 변환, 역함수의 존재 조건까지 다룹니다.

기본형에서는 대응을 읽거나 함수에 차례로 대입하는 정확성이 중요합니다. 이어지는 문제에서는 명제의 참과 거짓을 집합의 포함 관계로 해석하고, 그래프 위의 길이나 넓이를 식으로 옮겨야 합니다. 단원별 공식을 외운 뒤에도 문제의 표현을 바꾸는 연습이 필요합니다.

후반에는 조건을 동시에 유지하는 부담이 커집니다. 유한집합의 대응을 정할 때는 이미 사용한 함숫값을 관리해야 하고, 구간별 함수에서는 치역의 중복과 누락을 함께 확인해야 합니다. 도형으로 정의된 함수를 합성하는 서술·단답형까지 고려해, 식을 세운 이유를 짧게 설명하는 연습을 권합니다.

난이도 분포 — 중반의 고비와 후반의 조건 해석

쉬움 문항은 초반에만 모여 있지 않습니다. 8번의 역함수 관계와 14번의 대우 증명도 자동 분류 기준 쉬움입니다. 앞 문항이 막혔을 때 다음 문제를 확인하면 다시 익숙한 개념으로 풀 수 있는 문항을 찾을 수 있습니다. 특히 합성 순서와 대우의 표현은 짧게 처리하되 방향을 뒤집지 않도록 주의하세요.

중반의 9·10·11번은 넓이의 대칭, 최솟값, 거짓 명제의 진리집합처럼 출발점이 서로 다릅니다. 같은 계산을 반복하는 방식으로는 접근이 어렵습니다. 12·15번의 보통 문항을 거쳐 16~20번에서는 대응 추론, 그래프 분할, 도형의 함수화가 이어지므로 후반을 위한 풀이 시간을 남겨야 합니다.

이 분포는 자동 분류 기준이며 실제 응시자의 체감 난도와 같다고 단정할 수 없습니다. 어려움으로 분류된 문제도 핵심 관계를 찾으면 계산이 짧아질 수 있습니다. 연습할 때는 계산 시간뿐 아니라 어떤 조건에서 출발했는지 설명하는 데 걸린 시간도 함께 확인하세요.

출제 단원 — 명제와 합성함수·역함수가 중심

명제는 단순한 참·거짓 판단에서 진리집합의 포함 관계, 필요조건과 충분조건, 대우 증명, 전칭·존재 명제로 확장됩니다. 11번에서는 명제가 거짓이라는 말을 반례가 존재한다는 조건으로 바꾸어야 합니다. 15번은 모든 실수와 어떤 실수의 차이를 이차식의 부호 조건으로 연결하는 연습이 필요합니다.

합성함수와역함수는 기본 대입과 대응 해석을 바탕으로 후반의 추론을 받쳐 줍니다. 16번은 유한집합의 일대일대응, 18번은 구간별 치역, 19번은 도형에서 얻은 함수의 합성으로 확장됩니다. 역함수의 식을 구하는 연습과 함께 입력과 출력의 관계를 되돌려 읽는 연습을 하세요.

무리함수와 유리함수에서는 그래프를 길이·넓이·교점 개수와 연결합니다. 9번의 대칭 관계, 13번의 좌표 추적, 17번의 구간 구분을 서로 구별해 익혀야 합니다. 유리함수의 10·20번은 최솟값을 다루므로 양수 조건과 등호 성립 조건까지 점검하는 습관이 중요합니다.

문항별 정리

같은 지역 학교와 비교 — 경기 지역의 같은 과목 기말고사

같은 2025학년도 1학년 2학기 기말고사 공통수학2를 치른 경기 지역 학교들과 견주면, 평촌고의 총 문항 수는 지역 평균 21.4문항보다 적고 서술·단답은 평균 1.7문항보다 많습니다. 자동 분류 기준 어려움 비율은 45%로 지역 평균 55%보다 낮으며, 어려움 비율 순위는 11개교 중 8위입니다. 이 순위만으로 실제 시험 부담을 단정할 수는 없습니다.

유리함수가 가장 많은 학교도 있지만 평촌고는 명제와 합성함수와역함수가 함께 중심을 이룹니다. 따라서 유리함수의 최솟값 유형만 반복하기보다 명제의 논리 방향과 역함수의 대응 조건을 먼저 안정시켜야 합니다. 이후 무리함수의 그래프 분할과 도형을 이용한 합성으로 확장하면 이 시험의 후반 구성에 대비할 수 있습니다.

주의 문항 — 분석상 고난도 문항 3개

이 문항들은 이용자 투표의 순위가 아니라 조건 처리 구조를 근거로 고른 분석상 고난도 문항입니다. 공통적으로 전체 식을 한꺼번에 계산하기보다 구간과 치역을 먼저 정리해야 합니다. 풀이를 시작하기 전에 경계와 가능한 출력 범위를 표시하면 조건 누락을 줄일 수 있습니다.

시간 배분과 놓치기 쉬운 조건

첫 풀이에서는 기본 대응과 개념 판단이 보이는 문항을 확보하세요. 9~11번에서 오래 멈췄다면 표시하고 12·14·15번의 접근 가능성을 확인하는 편이 좋습니다. 후반을 처음 접하는 시점이 너무 늦어지지 않도록 전체 문항을 먼저 훑는 연습도 필요합니다.

서술·단답형은 식을 세우는 단계에 시간을 남겨 두세요. 19번에서는 이동 구간과 넓이의 변화, 20번에서는 직선의 절편과 삼각형의 밑변·높이를 먼저 표시해야 합니다. 최솟값을 다루는 20번은 부등식을 적용한 이유와 등호가 허용되는 범위에서 성립하는지를 함께 써야 합니다.

검토할 때는 계산을 전부 반복하기보다 조건을 확인하세요. 11·15번은 부등식의 경계와 정수·자연수 조건, 16번은 함숫값의 중복, 17번은 경계 높이의 교점이 핵심입니다. 18번의 구간 끝점 포함 여부와 20번의 좌표 부호도 마지막에 점검하세요.

다음 시험 대비 학습 순서

1. 함수의 정의와 합성 순서를 점검하세요. 대응을 따라가는 과정과 역으로 읽는 과정을 말로 설명해 보세요(1·3·4·8번 대비).
2. 명제를 진리집합과 포함 관계로 바꾸세요. 필요조건·충분조건의 양방향을 나누고 거짓인 방향의 반례를 확인하세요(2·5·7·11번 대비).
3. 대우 증명과 전칭·존재 명제를 복습하세요. 경우를 나눈 근거와 판별식의 부등호를 직접 적어 보세요(14·15번 대비).
4. 무리함수의 좌표와 대칭을 그림으로 정리하세요. 기본 역함수 관계에서 넓이 비교와 점의 좌표 추적으로 확장하세요(6·9·13번 대비).
5. 일대일대응과 구간별 치역을 함께 연습하세요. 유한집합에서는 사용한 출력을 표시하고 그래프에서는 중복과 빈 구간을 검사하세요(16·17·18번 대비).
6. 유리함수의 좌표를 길이와 넓이로 바꾸세요. 점근선·절편을 정리한 뒤 최솟값의 양수 조건과 등호 조건을 확인하세요(10·12·20번 대비).
7. 도형에서 구간별 함수를 만드는 연습으로 마무리하세요. 안쪽 함수의 치역을 먼저 확인하고 가능한 입력을 각 구간에서 찾아보세요(19번 대비).