곡정고등학교
2022년 2학년 2학기 중간고사

곡정고 2학년 2학기 중간 수학II는 어떤 시험인가

곡정고등학교는 경기 수원시에 있습니다. 이번 시험에서 확인되는 출제 범위는 함수의극한, 함수의연속, 미분계수와도함수, 도함수의활용입니다. 그래프에서 극한을 읽는 기본형부터 접선과 미분가능성을 연결하는 문제까지 포함합니다.

초반에는 미분 공식, 평균변화율, 유리화처럼 익숙한 절차를 정확히 적용해야 합니다. 중반부터는 같은 개념이 다른 표현으로 등장합니다. 접선의 기울기가 극한 계산에 쓰이고, 그래프의 불연속이 합성함수의 연속 조건으로 바뀌므로 무엇을 계산해야 하는지 먼저 판단하는 능력이 중요합니다.

서술·단답형도 극한 계산, 연속 조건, 미분가능성으로 이어집니다. 계산 결과만 적기보다 약분이나 유리화가 가능한 이유와 경계점에서 필요한 조건을 구분해 쓰는 연습이 필요합니다. 자동 분류 기준 쉬움 문항도 풀이의 근거를 생략하면 자신의 이해를 점검하기 어렵습니다.

난이도 분포 — 후반의 조건 연결과 기본형 확보

쉬움은 초반의 1~4번과 7번, 서술·단답형 18번입니다. 그래프 판독과 기본 미분, 평균변화율, 극한의 식 변형이 중심입니다. 이 구간에서는 새로운 풀이를 찾기보다 접근 방향과 부호를 정확히 확인해 시간을 아끼는 것이 좋습니다.

보통 문항은 극한의 치환, 실근의 존재, 제한된 구간의 최솟값, 공통접선, 평균값 정리 등으로 구성됩니다. 12·13번처럼 어려움 문항 사이에도 보통 문제가 있으므로 번호가 뒤에 있다는 이유로 미루지 마세요. 서술형 19번은 절댓값을 정리한 뒤 양쪽 경계에서 연속 조건을 세우는 과정이 핵심입니다.

어려움 문항은 11번과 14~17번, 20번입니다. 개념을 여러 단계로 연결하거나 그래프·도형을 식으로 옮기는 부담이 큽니다. 이 난이도는 자동 분류 기준이며 실제 응시자의 체감과 같다고 단정할 수 없습니다. 후반에 쓸 시간을 확보하되 서술형 전체를 어려운 문제로 묶어 넘기지 않는 운영이 필요합니다.

출제 단원 — 미분의 정의와 연속 조건을 중심으로

미분계수와도함수에서는 공식 계산보다 정의의 해석까지 준비해야 합니다. 2·7번의 다항함수 미분에서 9번의 공통접선으로, 11·12번의 극한 표현과 17·20번의 미분가능성 판단으로 연결됩니다. 미분계수를 구할 때 기준점과 함수의 입력 변화량을 함께 표시하는 습관이 도움이 됩니다.

함수의극한은 유리화와 치환뿐 아니라 8번의 함수 결정, 15번의 도형 해석으로 확장됩니다. 함수의연속은 13번의 합·곱, 14번의 합성함수, 19번의 조각함수처럼 결합 방식이 달라집니다. 연속 조건을 기계적으로 적용하기 전에 어떤 함수의 좌극한과 우극한을 비교하는지 적어 보세요.

도함수의활용은 10번의 평균값 정리와 16번의 접선·도형 문제입니다. 문항 수만 보고 가볍게 넘기기보다 기울기를 그래프와 좌표로 읽는 연습을 하세요. 접선의 방정식을 세우는 기술은 다른 단원의 문제에도 쓰이므로 단원별 복습 뒤에 연결 문제로 다시 확인하는 편이 좋습니다.

문항별 정리

주의 문항 — 분석상 고난도 문항 3개

이 문항들은 이용자 투표로 확인된 난도 순위가 아니라 조건 해석과 풀이 연결을 근거로 고른 분석상 고난도 문항입니다. 공통적으로 주어진 표현을 새 함수나 관계식으로 바꾼 뒤 익숙한 개념을 적용합니다. 계산을 시작하기 전에 입력, 출력, 접근 지점을 구별해 적는 연습이 효과적입니다.

시간 배분과 놓치기 쉬운 조건

첫 풀이에서는 1~4번과 7번처럼 기본 절차가 보이는 문항을 정확히 처리하세요. 11번에서 극한 조건 해석이 막히면 표시한 뒤 12·13번을 살펴볼 수 있습니다. 객관식 후반을 모두 해결한 뒤 서술형에 들어가기보다 전체 구성을 먼저 훑어 18·19번의 접근 가능성도 확인하세요.

서술형에는 계산 외에 근거를 정리할 시간이 필요합니다. 18번은 극한의 존재 조건과 식 변형을, 19번은 양쪽 경계의 연속 조건을 구분해 쓰세요. 20번은 절편 함수 구성과 연결점 검토를 나누어 두면 풀이 흐름이 보입니다. 연습할 때도 완성된 풀이를 쓰는 시간을 포함해 점검하세요.

마지막 검토는 조건 누락을 중심으로 하세요. 6·10번은 열린구간의 끝점 제외, 8번은 극한을 취하는 변수, 9번은 접점과 기울기의 동시 일치가 중요합니다. 14번은 합성한 뒤의 함숫값을, 17·20번은 연속성과 미분가능성의 구별을 다시 확인하세요.

다음 시험 대비 학습 순서

1. 그래프에서 좌극한·우극한·함숫값을 구분하고, 유리식 약분과 무리식 유리화를 복습하세요. 식을 변형한 이유도 짧게 설명해 보세요(1·4·18번 대비).
2. 치환한 뒤의 접근 지점과 극한을 취하는 변수를 표시하세요. 극한으로 정의된 함수를 먼저 구하고 그 함수의 성질을 판단하는 순서까지 연습하세요(5·8번 대비).
3. 연속은 좌우의 극한과 함숫값을 비교하는 절차로 정리하세요. 실근의 존재, 함수의 합·곱, 합성함수, 절댓값 조각함수로 적용 범위를 넓혀 보세요(6·13·14·19번 대비).
4. 평균변화율과 미분계수의 정의를 나란히 복습하세요. 입력 변화량을 맞추어 극한을 미분계수로 읽는 연습을 공식 계산과 함께 진행하세요(2·3·7·11·12·17번 대비).
5. 접선은 접점의 좌표와 기울기를 함께 정리하세요. 공통접선, 평균값 정리의 그래프 해석, 외부의 점을 지나는 접선으로 확장하세요(9·10·16번 대비).
6. 도형을 좌표 관계로 옮기는 문제와 새 함수를 만드는 서술형을 마무리 연습하세요. 관계식 구성 뒤 조건을 다시 점검하고, 미분가능성은 연속 조건부터 서술하세요(15·20번 대비).