방산고등학교
2025년 1학년 2학기 기말고사

방산고 1학년 2학기 기말 공통수학2는 어떤 시험인가

방산고등학교는 서울 송파구에 있습니다. 자료에서 확인되는 범위는 명제, 함수, 합성함수와역함수, 유리함수, 무리함수, 절대부등식입니다. 논리의 참·거짓을 판단하는 기본 개념과 여러 함수의 그래프를 연결하는 해석이 함께 필요합니다.

초반에는 명제의 뜻, 양화사가 있는 명제의 부정, 항등함수, 역함수의 함숫값, 유리함수의 평행이동을 확인합니다. 여기서 익힌 개념은 후반에도 쓰이지만, 후반에서는 조건을 집합이나 구간별 그래프로 다시 표현해야 풀이를 시작할 수 있습니다.

모두 객관식이지만 식에 대입하는 계산만으로 준비하기는 어렵습니다. 역함수의 교점에서 최소임을 판단하거나, 나뉜 함수의 치역이 겹치지 않으면서 전체 범위를 채우는지 확인하는 문항이 있습니다. 계산 뒤 원래 조건으로 돌아오는 검토까지 연습하세요.

난이도 분포 — 초반 개념 확인과 후반의 연속된 조건 해석

쉬움 구간인 1~5번은 개념의 정의와 기본 변환을 빠르게 확인하는 자리입니다. 명제가 아닌 문장과 거짓인 명제를 구별하고, 역함수의 함숫값을 원래 함수의 입력으로 읽어야 합니다. 평행이동은 이동 방향과 식의 부호를 구별하면 불필요한 시행착오를 줄일 수 있습니다.

보통인 6~9번은 개념을 논리 관계나 식으로 옮기는 단계입니다. 6·8번은 집합의 포함 관계와 존재 조건을, 7번은 정의역·치역과 역함수의 제한을, 9번은 입력식의 치환을 확인합니다. 짧은 문제라도 전제의 방향을 놓치면 판단이 달라집니다.

10~21번은 모두 자동 분류 기준 어려움입니다. 구간을 나눈 합성, 최솟값의 등호 조건, 그래프의 교점과 치역처럼 서로 다른 검토가 이어집니다. 이 분류가 실제 응시자의 체감 난도와 일치한다고 단정할 수는 없으며, 본인에게 풀이 구조가 보이는 문항을 먼저 찾는 운영이 필요합니다.

출제 단원 — 명제와 합성함수와역함수의 높은 비중

명제는 부정과 역을 구별하는 기본형에서 출발해 충분조건·필요조건을 진리집합으로 해석하는 형태로 이어집니다. 14번은 거짓인 명제를 포함 관계의 실패로 바꾸어야 하고, 20번은 필요충분조건을 유리함수의 구간별 함숫값 조건과 연결합니다. 논리 단원도 그래프 해석과 함께 연습해야 합니다.

합성함수와역함수는 그래프에서 값을 읽는 4번, 치환으로 역함수를 구하는 9번을 바탕으로 확장됩니다. 후반에는 합성 순서에 따른 구간 선택, 역함수 그래프의 교점, 일대일성과 치역, 합성방정식의 실근을 다룹니다. 역함수의 식을 구하는 연습에만 머물지 마세요.

유리함수와 무리함수는 평행이동·정의역·치역을 토대로 최솟값과 대칭성에 연결됩니다. 11·13번은 산술평균과 기하평균의 관계를 적용할 형태를 만드는 과정이 중요합니다. 18·19번에서는 도형의 대칭이나 높이 변화를 함수 관계로 바꾸어야 하므로 도형 조건을 읽는 연습도 필요합니다.

문항별 정리

작년 시험과 비교 — 과목 변경을 고려한 공통 단원 점검

작년 과목은 수학(하), 올해는 공통수학2로 서로 다릅니다. 따라서 과목 전체가 같은 조건이라고 놓고 비교하기는 어렵습니다. 총 문항은 줄고 서술·단답형이 없어졌지만, 자동 분류 기준 어려움 문항은 늘었습니다. 문항 수의 감소를 풀이 부담의 감소로 받아들여서는 안 됩니다.

공통 단원을 보면 합성함수와역함수는 작년과 올해 모두 6문항입니다. 함수는 4문항에서 2문항으로, 유리함수는 4문항에서 3문항으로 줄었고 무리함수는 모두 3문항입니다. 과목이 달라진 만큼 서로 다른 단원을 직접 대응시키기보다 공통 단원의 조건 처리 방식부터 점검하는 편이 좋습니다.

작년 어려움은 17~20번과 서술·단답형 23·24번에 있었고, 올해는 객관식 10~21번에 이어집니다. 후반에 들어가기 전부터 복합 조건을 다룰 준비가 필요해진 배치입니다. 다음 시험 대비에서는 합성함수와역함수를 중심에 두고 유리·무리함수의 치역과 그래프 제한을 함께 복습하세요.

주의 문항 — 분석상 고난도 문항 3개

이 문항들은 이용자 투표에 따른 난도 순위가 아니라 풀이의 연결 단계를 근거로 고른 분석상 고난도 문항입니다. 공통점은 그래프의 성질을 발견한 뒤에도 최소의 실현 가능성, 도형 조건, 경계의 예외를 추가로 확인해야 한다는 점입니다. 그림 옆에 확인할 조건을 적고 단계마다 지워 가며 풀어 보세요.

시간 배분과 놓치기 쉬운 조건

첫 풀이에서는 1~9번의 기본 개념을 정확히 처리해 후반에 쓸 여유를 확보하세요. 다만 7번의 역함수 제한이나 8번의 전제가 바로 보이지 않으면 표시하고 다음 문항을 확인하세요. 10번 이후에는 자동 분류 기준 어려움이 이어지므로 번호순으로 모든 풀이를 끝내려 하기보다 출발 아이디어가 보이는 문제를 먼저 선택하는 연습이 좋습니다.

후반 문항은 계산 전에 간단한 그림이나 조건표를 남기세요. 12번은 근이 있어야 할 범위, 17번은 나뉜 구간의 치역, 20번은 진리집합이 일치해야 하는 구간을 먼저 적으면 계산 방향이 선명해집니다. 연습할 때는 조건을 해석한 시간과 계산한 시간을 구별해 기록하고, 해석에 오래 걸린 유형을 따로 복습하세요.

마지막 검토에서는 답을 다시 계산하기보다 조건 누락을 확인하세요. 10번은 매개변수의 경우와 후보가 일치하는지, 11·13번은 등호를 실제로 만들 수 있는지 살펴보세요. 12·17번은 끝점의 포함 여부, 20번은 분모가 사라지는 입력의 제외, 21번은 서로 다른 실근의 중복 여부가 중요합니다.

다음 시험 대비 학습 순서

1. 명제와 조건을 구별하고 양화사와 부등호를 함께 부정하는 연습부터 하세요. 거짓인 명제와 명제가 아닌 문장을 따로 설명해 보세요(1·3번 대비).
2. 명제의 역과 충분·필요조건을 진리집합의 포함 관계로 바꾸세요. 존재 조건은 교집합이 비어 있지 않다는 표현으로 정리하세요(6·8·14번 대비).
3. 항등함수와 역함수의 정의를 복습한 뒤 입력과 출력의 교환, 치환, 합성 순서를 훈련하세요. 구간별 함수는 안쪽 함수의 출력부터 확인하세요(2·4·9·10번 대비).
4. 유리·무리함수의 이동, 점근선, 정의역·치역을 같은 그림에 표시하세요. 이를 역함수의 제한과 구간별 치역 결합으로 확장하세요(5·7·12·16·17번 대비).
5. 완전제곱과 치환으로 최솟값을 다루세요. 부등식으로 얻은 하한에 등호가 성립하는 조건을 원래 변수에서 확인하세요(11·13번 대비).
6. 그래프의 대칭과 도형의 거리·높이 관계를 함수로 표현하세요. 최소 교점의 실현과 합성방정식의 경계도 별도로 검토하세요(15·18·19·20·21번 대비).