잠실고등학교
2023년 1학년 2학기 기말고사

잠실고 1학년 2학기 기말 수학(하)는 어떤 시험인가

잠실고등학교는 서울 송파구에 있습니다. 자료에서 확인되는 출제 단원은 함수, 유리함수, 무리함수, 합성함수와역함수, 집합, 순열조합입니다. 함수의 기본 정의부터 그래프의 위치 관계와 조건이 있는 경우의 수까지 이어집니다.

앞부분에서는 치역과 공역의 구별, 점근선, 집합의 원소 수처럼 기본 개념을 확인합니다. 중반부터는 구간의 끝점, 지정된 사분면, 점수의 범위처럼 부가 조건을 풀이에 반영해야 합니다. 공식을 아는 것에 더해 어떤 조건으로 계산 범위를 제한할지 판단하는 시험입니다.

후반에는 그래프와 도형, 역함수와 대응 관계, 최대공약수와 경우의 수가 연결됩니다. 긴 계산을 시작하기 전에 그림이나 표로 구조를 정리하는 편이 유리합니다. 서술·단답형에서도 계산 결과뿐 아니라 경우를 나눈 이유와 후보를 제외한 근거를 함께 정리하세요.

난이도 분포 — 12~20번에 이어지는 조건 해석

쉬움은 1·2·3·4·6번입니다. 정의를 구별하거나 주어진 관계를 직접 적용하는 문제가 중심입니다. 다만 공역과 치역, 합집합과 여집합처럼 비슷한 용어의 차이를 놓치면 기본 문항에서도 실수가 생길 수 있습니다.

보통은 5·7·8·9·10·11·21번으로, 단순 대입에 조건 확인이 더해집니다. 무리함수의 치환 범위, 사분면의 경계, 나머지별 대응을 각각 정리해야 합니다. 마지막 21번도 보통으로 분류되어 있으므로 앞의 어려움 문항에서 멈췄다면 먼저 확인할 만합니다.

어려움은 12~20번에 연속됩니다. 색칠과 분배에서는 조건별 분류가, 함수에서는 구간별 교점과 대칭 관계가 중요합니다. 이 분포는 자동 분류 기준이며 개인의 체감 난도와 일치한다고 단정할 수는 없지만, 후반 검토 시간을 확보해야 한다는 학습 방향은 분명합니다.

출제 단원 — 순열조합과 함수 그래프의 결합

순열조합은 4·8·10·12·15·18번에 배치되어 있습니다. 약수의 개수와 사전식 배열에서 출발해 점수 조건, 색칠, 차량 분배, 서로소인 순서쌍으로 이어집니다. 순열이나 조합 공식을 고르기 전에 무엇을 고정하고 어떤 경우를 더하거나 뺄지 정하는 연습이 중요합니다.

유리함수와 무리함수는 각각 4문항입니다. 점근선과 시작점을 읽는 기본형에서 직선·직사각형과의 교점, 역함수와 연결된 넓이 및 격자점 문제로 확장됩니다. 그래프를 그린 뒤 경계가 바뀌는 상황을 표시하면 식만으로 접근할 때 놓치기 쉬운 예외를 찾을 수 있습니다.

함수와 합성함수와역함수는 각각 3문항이며 집합은 3번입니다. 특히 11·16번은 역함수의 존재를 일대일대응으로 해석해야 합니다. 서로 다른 입력이 같은 출력으로 가는지 확인하는 기본 개념이 후반 대응 추론의 바탕이 됩니다.

문항별 정리

작년 시험과 비교 — 서술·단답과 어려움 문항의 확대

작년과 올해는 모두 수학(하)입니다. 총 문항은 20문항에서 21문항으로, 서술·단답형은 3문항에서 6문항으로 늘었습니다. 자동 분류 기준 어려움도 5문항에서 9문항으로 늘어, 풀이 과정을 정리하며 후반 문제를 처리하는 연습의 필요성이 커졌습니다.

가장 많은 단원은 두 해 모두 순열조합이지만 7문항에서 6문항으로 줄었습니다. 유리함수는 5문항에서 4문항으로 줄고 무리함수는 3문항에서 4문항으로 늘었습니다. 합성함수와역함수는 3문항으로 같으며, 함수는 2문항에서 3문항으로 늘어났습니다.

작년의 어려움은 13·15·17·18·20번에 나뉘어 있었지만 올해는 12~20번에 이어집니다. 단원별 기본 문제를 푼 뒤 여러 조건을 묶은 문제를 연속해서 풀어 보세요. 서술·단답형에서는 경우를 나눈 근거를 남기고, 보통으로 분류된 마지막 문항까지 확인하는 운영을 함께 연습하는 것이 좋습니다.

주의 문항 — 분석상 고난도 문항 3개

이 문항들은 자동 분류 기준 어려움에 속하며, 조건 처리 구조를 근거로 고른 분석상 고난도 문항입니다. 자료만으로 단일 문항의 난도 순위를 확정하지는 않습니다. 공통적으로 계산 전에 분류 기준을 세워야 하며, 마지막에는 경계나 제외 조건으로 돌아가 점검해야 합니다.

시간 배분과 놓치기 쉬운 조건

첫 풀이에서는 앞부분의 기본 개념 문항을 안정적으로 처리하고, 계산이 길어지는 문제에 표시를 남기세요. 12번 이후 어려움 문항이 이어지므로 객관식이 끝날 때까지 서술·단답형을 보지 않는 방식은 부담이 될 수 있습니다. 전체를 훑어 21번처럼 출발 관계가 보이는 문제를 먼저 확보하는 연습이 필요합니다.

함수 문항의 검토 기준은 정의역과 경계입니다. 7번은 축 위의 점이 사분면에 속하지 않는다는 점, 13번은 제곱 뒤 얻은 근의 구간, 14번은 꼭짓점에서 겹친 교점이 중요합니다. 19번에서는 전체 실근이 아니라 양의 실근을 세므로 경계에 해당하는 입력을 따로 확인하세요.

경우의 수에서는 무엇을 서로 다른 경우로 보는지 먼저 적으세요. 15번은 차량 선택과 탑승 인원 배치를 나누고, 18번은 순서쌍과 서로 다른 두 수라는 조건을 유지해야 합니다. 연습 때 조건 정리와 계산에 걸린 시간을 나누어 기록하면 어느 단계에서 시간이 늘어나는지 파악할 수 있습니다.

다음 시험 대비 학습 순서

1. 함수의 정의역·공역·치역과 일대일대응을 정리하세요. 변형된 입력을 목표 입력에 맞추는 대입과 덧셈 조건의 반복 적용도 함께 연습하세요(1·6·11·21번 대비).
2. 점근선과 무리함수의 시작점으로 기본 그래프를 그리세요. 구간의 끝점과 증가·감소를 확인한 뒤 치환한 범위에서 최대·최소를 구하세요(2·5·7·9번 대비).
3. 합집합의 중복 처리와 곱의 법칙을 복습하세요. 약수의 지수 선택, 사전식 배열, 점수 조건을 각각 표로 정리하는 연습을 하세요(3·4·8·10번 대비).
4. 조건이 있는 색칠과 분배에서는 한 기준을 고정해 경우를 나누세요. 전체에서 제외할 경우와 각 분류가 겹치지 않는 이유를 적어 보세요(12·15·18번 대비).
5. 교점 개수는 구간별 식과 그림을 함께 사용하세요. 접점, 꼭짓점, 점근선, 양의 실근 조건이 바뀌는 경계를 따로 검사하세요(13·14·19번 대비).
6. 역함수의 대응 추적과 대칭 관계를 심화하세요. 유한집합의 합성에서 시작해 넓이 최대화와 격자점 도형 세기로 확장하세요(16·17·20번 대비).