야탑고등학교
2023년 1학년 1학기 기말고사

야탑고 1학년 1학기 기말 수학(상)은 어떤 시험인가

야탑고등학교는 경기 성남시에 있습니다. 자료에서 확인되는 범위는 평면좌표, 직선의방정식, 원의방정식, 도형의이동, 여러가지부등식, 이차함수입니다. 좌표도형을 중심으로 거리와 넓이를 다루고, 부등식과 이차함수의 근 조건도 함께 확인하는 구성입니다.

도형 문제라고 해서 좌표를 모두 구해야 하는 것은 아닙니다. 거리의 합은 삼각형의 성질이나 대칭이동으로, 넓이의 비는 같은 높이를 가진 삼각형의 밑변 비로 바꿀 수 있습니다. 반대로 접선이나 내분점의 조건은 좌표와 부등식으로 정확히 표현해야 합니다.

객관식 후반에는 일정한 길이, 접하는 원, 구간 안의 실근, 반복 이동처럼 조건을 여러 단계로 해석하는 문제가 이어집니다. 서술·단답형에서는 범위의 근거와 수직 관계의 증명도 요구하므로 공식의 적용 조건을 말로 설명하는 연습이 필요합니다.

난이도 분포 — 보통 중심, 객관식 후반에 모인 어려움

쉬움은 점의 평행이동을 다루는 1번입니다. 보통 문항은 2~16번과 21~23번에 배치되어 있습니다. 이 구간에서도 대칭시킬 점을 고르거나 외분점의 위치를 정해야 하므로, 공식을 기억하는 것과 상황에 맞는 공식을 선택하는 것을 구별해 연습하세요.

어려움은 17·18·19·20번입니다. 17번은 교점 사이의 거리를 근과 계수의 관계로 바꾸고, 18번은 접하는 조건에서 중심과 반지름을 정합니다. 19번은 실근의 위치를 경우별로 검사하고 20번은 반복 이동에서 유지되는 대칭을 찾아야 합니다.

난이도는 자동 분류 기준입니다. 서술·단답형이 보통이라고 해서 짧은 계산만으로 끝난다는 뜻은 아닙니다. 22번의 증명과 23번의 보조선 설정처럼 풀이 근거를 구성하는 데 시간이 필요한 문항도 함께 대비하세요.

출제 단원 — 원과 직선, 평면좌표를 연결하는 풀이

원의방정식은 교점 개수, 접선, 좌표축에 접하는 원, 평행한 직선에 접하는 원까지 폭이 넓습니다. 중심을 구하고 거리와 반지름을 비교하는 기본형을 익힌 뒤, 18·20번처럼 중심을 직접 주지 않는 유형으로 확장하는 순서가 좋습니다.

평면좌표와 직선의방정식에서는 내분점, 수선의 발, 넓이 분할, 직선의 위치 관계가 반복됩니다. 특히 6·13·16번은 기하 성질을 먼저 알면 계산을 줄일 수 있습니다. 14번처럼 수직인 직선이 나타날 수 있는 문제에서는 기울기 식으로 나누기 전에 계수를 확인하세요.

여러가지부등식은 절댓값, 생활 조건의 식 세우기, 근의 위치 판단을 다룹니다. 이차함수는 17번에 출제되어 문항 수보다 조건 해석의 부담에 주목할 필요가 있습니다. 단원별 기본 계산 후에는 좌표도형과 방정식을 연결하는 문제를 연습하세요.

문항별 정리

작년 시험과 비교 — 어려움 수는 같고 직선 문항은 증가

작년과 올해 모두 수학(상)입니다. 총 문항은 21문항에서 23문항으로 늘었고 서술·단답형은 4문항에서 3문항으로 줄었습니다. 자동 분류 기준 어려움은 모두 4문항이므로, 올해 문항 수가 늘었다는 이유만으로 어려운 문제가 늘었다고 해석하지는 않아야 합니다.

원의방정식은 7문항에서 6문항으로 줄어도 여전히 가장 많습니다. 평면좌표는 5문항으로 같고 직선의방정식은 3문항에서 5문항으로 늘었습니다. 도형의이동과 여러가지부등식은 각각 3문항을 유지했으며 올해는 이차함수도 포함되어 있습니다.

어려움 문항은 작년 14~17번에서 올해 17~20번으로 배치가 옮겨졌습니다. 두 해 모두 서술·단답형은 보통으로 분류되어 있습니다. 다음 시험을 준비할 때에는 원의 기본 관계를 유지하면서 직선의 위치 관계를 보강하고, 후반 객관식을 풀기 전에 서술 문항까지 확인하는 운영을 연습하세요.

주의 문항 — 분석상 고난도 문항 3개

이 문항들은 이용자 투표로 확인된 순위가 아니라 조건을 처리하는 과정을 근거로 고른 분석상 고난도 문항입니다. 공통점은 복잡한 대상을 그대로 계산하기보다 거리의 제곱, 축의 위치, 대칭처럼 판단에 필요한 관계를 먼저 추리는 데 있습니다.

시간 배분과 놓치기 쉬운 조건

첫 풀이에서는 1~16번 중 접근법이 보이는 문제를 확보하세요. 넓이 분할이나 직선의 경우 구분에서 풀이가 길어지면 표시하고 다음 문항을 확인하는 편이 좋습니다. 17~20번에 들어가기 전에 서술·단답형의 요구를 훑어 계산과 증명을 쓸 시간을 남겨 두세요.

서술·단답형에서는 출발 근거를 짧게라도 적는 연습이 필요합니다. 21번은 내분비와 좌표 부호, 22번은 평행이동과 피타고라스 정리, 23번은 반지름과 접선의 수직 관계가 출발점입니다. 연습할 때에는 계산 시간과 이유를 문장으로 정리하는 시간을 함께 기록하세요.

마지막에는 같은 계산을 반복하기보다 경계 조건을 확인하세요. 3번의 서로 다른 교점과 접하는 경우, 14번의 수직선, 19번의 중근과 구간 끝점, 21번의 좌표 부호가 점검 대상입니다. 거리의 최솟값을 다룬 2·7번에서는 등호를 만드는 점이 허용된 위치에 있는지도 확인하세요.

다음 시험 대비 학습 순서

1. 좌표의 이동과 두 점 사이 거리부터 복습하세요. 그림의 이동 방향을 좌표 변화와 연결하고 거리식을 도형으로 읽으세요(1·2·7번 대비).
2. 내분·외분·무게중심을 묶어 연습하세요. 점의 위치를 먼저 그린 뒤 길이의 비와 넓이의 비를 구별하세요(6·13·16·21번 대비).
3. 직선의 수직 관계와 수선의 발, 넓이 분할을 정리하세요. 공식을 적용하기 전에 기울기가 정의되는지 확인하세요(4·8·11·14·22번 대비).
4. 원의 중심과 반지름을 찾아 접선·현·교점 관계로 확장하세요. 접하는 원의 중심 자취와 거리 조건도 연습하세요(3·10·12·18·23번 대비).
5. 부등식은 식 세우기부터 경우 구분까지 단계적으로 연습하세요. 절댓값, 단위 환산, 구간 안의 실근 조건을 각각 정리하세요(5·9·19번 대비).
6. 복합 문제는 계산 전에 유지되는 관계를 적어 보세요. 거리의 제곱과 근의 관계, 대칭과 중심을 연결한 뒤 원래 조건으로 검산하세요(15·17·20번 대비).